Bestimmung einer linearen Näherungsfunktion.

06.09.2011, 16:26

IHC

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Bestimmung einer linearen Näherungsfunktion.

Hi leute,

ich stehe hier mal wieder auf dem Gartenschlauch. Ich hab folgende Aufgabe aus meinem Buch, die mir mal wieder ein Rätsel auferlegt.

Gegeben ist für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ die Funktion f mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{4}{x+1} \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie die lineare Funktion g mit $\begin{eqnarray*} g(1)=f(1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(4)=f(4) \end{eqnarray*}$ .

Sonst steht da nichts zu der Aufgabe drinne. Kann mir jemand helfen?

mfg IHC

06.09.2011, 16:29

Equester

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Ich übersetze mal das Relevante:

Wir haben eine Funktion f und wollen diese durch eine Gerade g annähern (damit sich
einfacher weiterarbeiten lässt).
Dabei soll f(1)=g(1) und f(4)=g(4) sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wink

06.09.2011, 16:31

IHC

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Was soll mir das jetzt sagen? Muss ich zuerst 1 und dann 4 in die Funktion einsetzen verwirrt

verwirrt

06.09.2011, 16:36

Equester

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Das wäre zumindest mal net allzu schlecht Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.09.2011, 16:38

IHC

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RE: Bestimmtung einer linearen Näherungsfunktion.
für x=1:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{4}{1+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{4}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2 \end{eqnarray*}$

für x=4:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{4}{4+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =0,8 \end{eqnarray*}$

06.09.2011, 16:46

Equester

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Richtig.

Freude

Und was nun?

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06.09.2011, 16:48

IHC

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Ehm, keine Ahnung. Mir fällt irgendwie nichts mehr ein, was mach noch machen könnte.

06.09.2011, 16:50

Equester

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Dann schau nochmals meine "Übersetzung" an. War da nicht nach einer Geraden g gefragt?!
Geh das Problem mal an!

06.09.2011, 16:52

IHC

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Die Gerade g finden, nur weis ich nicht, wie wir das machen könnten. Ich muss vllt. die beiden Zwischenergebnisse bei g einsetzen, nur hab ich keine Funtkion, wo g drin ist. verwirrt

verwirrt

06.09.2011, 16:57

Equester

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Na du wirst doch wohl noch die allgemeine Geradengleichung im Kopf haben! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da setz dann die beiden gefundenen Punkte ein.

06.09.2011, 16:59

IHC

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$\begin{eqnarray*} f(x)=mx+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=2x+0,8 \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

06.09.2011, 17:03

Equester

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Nein, wir haben es mit g(x) zu tun und nicht mit f(x) Augenzwinkern

Augenzwinkern

g(x)=mx+b

Was soll das? Die 2 und die 0,8 einfach einzusetzen! Setzt du sonst auch zwei
beliebige Punkte ein um damit deine Geradengleichung aufzubauen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Denk nochmals nach. Ich warte auf deinen neuen wohl überlegten Ansatz smile

smile

(Tipp: Zwei Punkte gegeben: A(1/2) und B(4/0,8))

06.09.2011, 17:06

IHC

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Zitat:

Original von Equester
Setzt du sonst auch zwei beliebige Punkte ein um damit deine Geradengleichung aufzubauen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nein, mache ich nicht, da ich das sonst nicht mache. Big Laugh

Big Laugh

Meine neue Idee:

$\begin{eqnarray*} g(x)=1x+2 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} g(x)=4x+0,8 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass ich nicht schon wieder auf dem falschen Weg bin.

ps: Bin mal kurz weg (essen). smile

smile

06.09.2011, 17:08

Equester

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Doch :P

Du hast zwei Punkte gegeben -> A(1/2) und B(4/0,8). Was gibt der erste Teil an?
Was der zweite?

g(x)=mx+b -> Zwei Unbekannte, m und b

Jetzt du Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.09.2011, 17:17

IHC

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A(1 <-- ist der x-Wert/2 <-- ist der y-Wert)

Bei der Funktion g(x) gibt das m die Steigung an und b den y-Achsenabschnitt, aber ich weis nicht, wie ich das einsetzen soll. für b hätte ich jetzt die 2 eingesetzt, da dies ein y-Wert ist (wird aber wahrscheinlich falsch sein unglücklich

unglücklich

).

Ich check das gerade gar nicht. verwirrt

verwirrt

06.09.2011, 17:20

Equester

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Du sagst es doch selbst -> 1 ist ein x-Wert und 2 ein y-Wert!

D.h. doch, dass bei der Geradengleichung g(x)=y=mx+b y und x wählbar sind,
dann aber fest. m und b sind immer fest! -> Finde also diese!
Dabei stelle zwei Gleichungen auf.
Versuchs nochmals Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.09.2011, 17:30

IHC

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$\begin{eqnarray*} g(x)=m\cdot1+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=m\cdot2 +b \end{eqnarray*}$

Bin mir nicht sicher, aber kann es sein, dass ich jetzt die beiden gleichsetzen muss?

06.09.2011, 17:37

Equester

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Deine Vermutung ist richtig und wir kommen der Sache schon um einiges näher.
Doch warum ersetzt du das x durch eine 2, wenn das doch der y-Wert ist?
Du hast noch einen anderen Punkt zu verbauen!
Erinnere dich an meinen Tipp:
g(x)=y=mx+b!

06.09.2011, 17:38

IHC

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$\begin{eqnarray*} 2=m\cdot1+b \end{eqnarray*}$

06.09.2011, 18:08

Equester

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Ah, da kommen wir der Sache näher!
Zweite Gleichung?
Dann gleichsetzen, oder welches Verfahren du auch immer wählen magst Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.09.2011, 18:11

IHC

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$\begin{eqnarray*} 2=m\cdot1+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,8=m\cdot4 +b \end{eqnarray*}$

Aber wie kann ich sie jetzt gleichsetzen, wenn da g(x) stehen geblieben wäre, hätte ich es gewusst, so aber nicht.

06.09.2011, 18:36

Equester

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Forme beide zum Beispiel nach b um Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das muss sitzen mein Lieber! Das ist Stufe 8 oder sogar darunter.

Wie siehts dann aus? Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.09.2011, 18:43

IHC

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$\begin{eqnarray*} 2=m\cdot1+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2=m\cdot1+b/-b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2-b=m\cdot1/+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -b=m\cdot1 +2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,8=m\cdot4 +b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,8=m\cdot4+b/-b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,8-b=m\cdot4/+0,8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -b=m\cdot4 +0,8 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

06.09.2011, 18:46

Equester

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geschockt

IHC, brauchst ne Pause? Big Laugh

Big Laugh

Mal abgesehen davon, dass einfach: $\begin{eqnarray*} -m \end{eqnarray*}$ bei ersterem wohl am einfachsten gewesen wäre,
kann ich nicht verstehen, warum du in der vorletzten Zeile +2 machst!
(Links: 2+2=4!)

06.09.2011, 18:51

IHC

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Ich hab Kopfweh (im ernst). Ich hätte einfach das ba auf die andere Seite bringen müssen und dann durch eins teilen.

$\begin{eqnarray*} 2=m\cdot1+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2=m\cdot1+b/-b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2-b=m\cdot1/:1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m=2-b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,8=m\cdot4 +b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,8=m\cdot4+b/-b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,8-b=m\cdot4/:4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m=\frac{0,8-b}{4} \end{eqnarray*}$

Und jetzt?. unglücklich

unglücklich

06.09.2011, 19:05

Equester

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Ja, jetzt ist es richtig. Du hast jetzt nach m aufgelöst.
Dann setze mal gleich.

Alternative:
Wenn du zum Beispiel das erste nach b aufgelöst hättest:

$\begin{eqnarray*} 2=m\cdot1+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2-m\cdot1=b \end{eqnarray*}$

Fertig! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und es gilt bei Variablen immer: 1*m=m. Da brauchst du nicht durch 1 zu dividieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.09.2011, 19:13

IHC

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Ok, danke für die Hilfen, hab den Kopf nicht genug angestrengt. böse

böse

$\begin{eqnarray*} \frac{0,8-b}{4}=2-b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{0,8-b}{4}=2-b/\cdot 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,8-b=8-2b/+0,8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -b=8-2b+0,8/-2b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2b-b=8,8/: (-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b+\frac{b}{2}=4,4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1,5b=4,4 \end{eqnarray*}$

Das kann doch nie im Leben stimmen!

06.09.2011, 19:21

Equester

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Wie recht du hast.
Schau den Wechsel von der zweiten in die dritte Zeile an.
Du multiplizierst mit 4. Auch das b?

06.09.2011, 19:24

IHC

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Ne, ich multipliziere es mit 2.

$\begin{eqnarray*} \frac{0,8-b}{4}=2-b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{0,8-b}{4}=2-b/\cdot 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,8-b=8-4b/+0,8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -b=8-4b+0,8/-4b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4b-b=8,8/: (-4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b+\frac{b}{4}=2,2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1,25b=2,2 \end{eqnarray*}$

Und jetzt?

06.09.2011, 19:25

Equester

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Warum addierst du in der dritten Zeile mit 0,8 böse

böse

Betrachte die linke Seite: 0,8+0,8 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nochmals anstrengen bitte. Wir sind gleich fertig smile

smile

06.09.2011, 19:26

IHC

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Keine Ahnung, was ich hier mache.

$\begin{eqnarray*} \frac{0,8-b}{4}=2-b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{0,8-b}{4}=2-b/\cdot 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,8-b=8-4b/-0,8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -b=8-4b-0,8/-4b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4b-b=7,2/: (-4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b+\frac{b}{4}=3,6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1,25b=3,6 \end{eqnarray*}$

Und jetzt?

06.09.2011, 19:33

Equester

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Wir nähern uns der letzten Zeile :P
Aber bei der vierten muss ich wieder: unglücklich

unglücklich

Ich habs dir doch schon mehrfach gezeigt. Immer die gegenteilige Operation ausführen!
Du hast -4b rechts stehen! Dann addiere 4b. -> -4b+4b=0 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nochmals

Lehrer

06.09.2011, 19:36

IHC

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$\begin{eqnarray*} \frac{0,8-b}{4}=2-b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{0,8-b}{4}=2-b/\cdot 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,8-b=8-4b/-0,8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -b=8-4b-0,8/+4b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4b-b=7,2/: (4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b+\frac{b}{4}=1,8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1,25b=1,8 \end{eqnarray*}$

06.09.2011, 19:39

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum wird in der vorletzten Zeile auf einmal aus dem Minus ein Plus?
Ich hoffe mal nur ein Flüchtigkeitsfehler :P

Wir haben also:
0,75b=1,8

Was ist dann eigentlich b? Kannst dus mir sagen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Anmerkung: Drittletzte Zeile -> 4b-b=3b
Schon steht nur noch 3b=7,2 da Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wink

06.09.2011, 19:41

IHC

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Dein Einwand wäre ja noch besser. Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} 3b=7,2 /:3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=2,4 \end{eqnarray*}$

06.09.2011, 19:44

Equester

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Hoff ich doch Big Laugh

Big Laugh

Ok b haben wir *schweß abwisch*
Nun zu m.

Vorschläge? Oder schon direkt das Ergebnis?

06.09.2011, 19:47

IHC

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Zum Thema Schweiß, bei mir musst du noch was leisten für dein Geld. Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} 2=m\cdot1+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2=m+b/-b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m=2-b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m=2-2,4=-0,4 \end{eqnarray*}$

So?

06.09.2011, 19:58

Equester

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Wenn ich denn welches kriegen würd :P
Wär schon mit 1€ pro Beitrag zufrieden Big Laugh

Big Laugh

Ja, ist richtig Freude

Freude

-> g: y=-0.4x+2.4

Das ist unsere gesuchte lineare Funktion, die eine Annäherung darstellen soll :P

06.09.2011, 20:01

IHC

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Danke dir für deine Hilfe.
Gib mir mal deine Kontonummer und BLZ, ich überweis dir deine 19€ die du hier verdient hast. Big Laugh

Big Laugh

Ich hab gleich nochmal nen Thread, wenn du willst und vor allem noch kannst (vor Erschöpfung) kannste ja mal reinschauen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

mfg IHC

06.09.2011, 20:05

Equester

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Big Laugh

Dann muss ich hier noch schnell spammen?! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Kein Ding, und ja ich schau mal :P

Wink

Wink

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