Doppelintegral

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07.09.2011, 16:21	moonsymmetry	Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelintegral hallo Gegeben ist ein Parallelogramm (=B in R^2). Die Eckpunkte sind (1,0) (1,1), (0,2) und (0,1). Ich muss nun das Doppelintegral $\begin{eqnarray} \int \int_B (x^2y - 2y) dxdy \end{eqnarray}$ bestimmen. Bereichsintegral heißt jetzt soviel wie: Ich muss das Volumen des parallelogrammförmigen bereichs unter der obigen funktion ausrechnen? ist das richtig? dazu muss ich mir zwingend vorstellen können wie die funktion x^2y -2y überhaupt auf einem Plot aussieht? oder geht das auch ohne? Ich wüsste nämlich nicht wie so ein Ding aussieht. nunja im ersten Schritt gehts wohl darum jetzt die Grenzen für mein Doppelintegral herauszufinden... Wie geht man hier vor? danke
08.09.2011, 17:20	ChristianII	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, als Vorschlag könnte man die Integrationsgrenzen bezüglich dy in Abhängigkeit von x darstellen. Daher überlege zunächst, wie die Integratonsgrenzen bezüglich dx lauten. Es sei y1(x) die Funktion, die die obere Integrationsgrenze bezüglich dy in Abhängigkeit von x beschreibt. Analog beschreibe die Funktion "y2(x)" die untere Integrationsgrenze. Wie kann nun das Integral berechnet werden? Gruß Christian
08.09.2011, 18:06	moonsymmetry	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, hm ich würde sagen für dx habe ich die grenzen 0 bis 1. für dy die zwei geradengleichungen die sich durch die punkte ergeben. nämlich: y = -x +2 und y= -x +1 also $\begin{eqnarray} \int^{-x+2}_{-x+1} \int^1_0 (x^2y - 2y) \, dx \, dy \end{eqnarray}$ edit: nein das kann nicht sein... oder? beim äußeren integral muss ich ja immer konstante werte als grenzen haben damit ich überhaupt ein ergebnis rausbekomme ... oder?
08.09.2011, 18:23	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das kann in der Tat nicht sein. Vertausche die Integrationsreihenfolge, dann wird es richtig. $\begin{eqnarray} \int_{\ldots}^{\ldots} \left( \int_{\ldots}^{\ldots} \ldots ~ \dd y \right)~\dd x \end{eqnarray}$
08.09.2011, 18:27	ChristianII	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, man muss sich das so vorstellen: zunächst wird x "festgehalten" und nach dy integriert (also in die y-Richtung), innerhalb der Grenzen, die von x abängig sind. Den Ausdruck, der dann gewonnen wird (der nur von x Abhängig ist), wird nun nach dx integriert. Im Grunde könnte man auch anders vorgehen: Man könnte zunächst y festhalten und nach dx integrieren mit den Grenzen für x, die von y abhängig sind. Anschließend nach dy integrieren. Die erste Weg ist hier aber anschaulicher. Da zuerst nach dy integriert wird, muss das Integralzeichen mit den variablen Grenzen in Abhängigkeit von x innen stehen (die beiden Integralzeichen also gerade rumdrehen und nun integrieren, zuerst nach dy). Gruß Christian
08.09.2011, 19:39	moonsymmetry	Auf diesen Beitrag antworten »
na dann: $\begin{eqnarray} \int^1_0 \int^{-x+2}_{-x+1} (x^2y - 2y) dy dx = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int^1_0 [ \frac{y^2x^2}{2} - y^2 ]^{-x+2}_{-x+1} dx= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int^1_0 [[ \frac{(-x+2)^2 x^2}{2} - (-x+2)^2 ] - [ \frac{(-x+1)^2 x^2}{2} -(-x+1)^2]] dx= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int^1_0 [ \frac{x^4-4x^3+4x^2}{2} -x^2+4x-4 - \frac{x^4 -2x^3+x^2}{2} -x^2 +2x-1] dx = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int^1_0 (1/2 (x^4-4x^3+4x^2) +2x -3 - 1/2(x^4 -2x^3+x^2)) dx = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} [ 1/2 (\frac{1}{5} x^5 - 4 \cdot \frac{1}{4} x^4 + 4 \cdot \frac{1}{3} x^3) + 2 \frac{1}{2} x^2 -3x - 1/2(\frac{1}{5} x^5 - 2 \cdot \frac{1}{4} x^4 + \frac{1}{3} x^3)]^1_0 = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} [ \frac{x^5}{10} - \frac{2x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + x^2 - 3x - \frac{x^5}{10} + \frac{x^4}{4}- \frac{x^3}{6}]^1_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ... = -7.583 \end{eqnarray}$ hmmm das kann aber auch nicht sein oder? also ein negatives ergebnis hier....
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08.09.2011, 19:47	ChristianII	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also, im Prinzip ist es die Vorgehensweise so richtig, ich hab jetzt nicht nachgerechnet. Es könnte durchaus sein, dass ein negatives Ergebnis rauskommt, z.B., wenn die Funktion in "Bereichen" negativ ist. Gruß Christian
08.09.2011, 20:01	moonsymmetry	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, das hört sich ja nicht so schlecht an hm ja vielleicht kann man das ganze etwas schöner kürzen und so oder? kanns sein das wolfram alpha mit solchen aufgaben nicht mehr zurecht kommt? oder wie macht man das? wäre cool zum kontrollieren. + wärst du so nett und könntest du mir (wenn du lust hast) eine Aufgabe aus diesem Themengebiet stellen damit ich weiter üben kann? und danke für deine hilfe lg
09.09.2011, 00:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ansatz stimmt so, das Ergebnis allerdings nicht. Mit einem CAS habe ich $\begin{eqnarray} - \frac{7}{4} \end{eqnarray}$ als Integralwert erhalten. Ich glaube, die Fehler beginnen in der vierten Zeile. Dort sind die hinteren drei Vorzeichen falsch. Es muß $\begin{eqnarray} \ldots + x^2 - 2x + 1 \end{eqnarray}$ heißen. Insgesamt ist dein Vorgehen etwas ungünstig. So könntest du bei der zweiten Zeile in der eckigen Klammer $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \left( x^2 - 2 \right) \cdot y^2 \end{eqnarray}$ schreiben. Beim Einsetzen der Grenzen in $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ und der Differenzbildung bleibt der Faktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \left( x^2 - 2 \right) \end{eqnarray}$ erhalten: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \left( x^2 - 2 \right) \left( (2-x)^2 - (1-x)^2 \right) \end{eqnarray}$ Und hinten fallen jetzt die Quadrate weg, so daß nach Ausmultiplizieren alles in allem ein Polynom vom Grad 3 in $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ verbleibt. So schlimm wird es also gar nicht.

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