Ableitung an einer Stelle

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IHC Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung an einer Stelle
Hi leute,

ich bräuchte mal wieder einen Übersetzer, der mir sagen könnte, was ich da machen muss.

Berechnen Sie für f mit und
.

Ich check das Thema noch gar nicht und weis nie, was ich da machen soll. unglücklich

mfg IHC
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung an der Stelle von ist also gefragt.

Wie hattet ihr das denn gelernt?

Über Ableitungsregeln oder über die Definition des Differentialquotientens ?
IHC Auf diesen Beitrag antworten »

Noch gar nicht, unser Lehrer ist auch noch Abteilungsleiter und er musste was sehr dringendes regeln und wir erhielten den Auftrag uns durch das Kapitel im Buch durchzuarbeiten. Aber ich hab mehr Fragen als es da drinne Aufgaben gibt. traurig
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, sagt dir der Begriff des Differentialquotienten etwas ?

Kennst du diese Notation:



?

Wie habt ihr bisher abgeleitet ?
IHC Auf diesen Beitrag antworten »

Der Begriff "Differentialpuotient" sagt mir noch nichts. Bisher haben wir noch nicht abgeleitet, da wir alle (meine Reihe und zwei von der Reihe vorher) uns den Kopf darüber zerbrochen haben und der Lehrer (wie gesagt) nicht da war. Die Schreibweise, , habe ich allerdings im Buch schon entdeckt, kann allerdings nicht viel damit anfangen.

Meine Vermutung ist, dass ich für die 2 (wie sie in der Aufgabenstellung steht) einsetzen muss.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Meine Vermutung ist, dass ich für die 2 (wie sie in der Aufgabenstellung steht) einsetzen muss.

Du meinst , nicht etwas !

Genau genommen handelt es sich bei dieser Schreibweise um die Definition der Ableitung einer Funktion an der Stelle , also so wie es da steht, so ist die Ableitung definiert - das schadet nicht zu wissen.

Anschaulich kann man sich das auch sehr gut klar machen (Sekante -> Tangente).
Denn die 1. Ableitung entspricht ja der Tangentensteigung an jedem Punkt des Graphens. (siehe vielleicht hier Animation)

Du brauchst auch nicht viel Vorwissen, um die Ableitung direkt aus der Definition zu bestimmen.
Dazu hast du ja schon gesagt, wie man vorgeht.
 
 
IHC Auf diesen Beitrag antworten »

Also sind die beiden Punkte, bei denen die Sekante den Graphen schneidet weiter voneinander entfernt als bei einer Tangente, oder?

Was soll ich jetzt tunverwirrt
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, also bei einer Sekante hast du tatsächlich 2 Punkte, die auf dem Graphen liegen.

Jetzt stell dir vor :

Der eine Punkt bleibt da, wo er ist.
Der andere Punkt kommt dem immer näher, man betrachte immer wieder die Sekante während dem Prozess.
Nun betrachtet man den Grenzwert für den Abstand der Punkte gegen Null (eigentlich nur die Differenz der x-Werte).

[attach]21065[/attach]

Jetzt wäre ja garnicht mehr definiert (Division durch Null).

Deswegen darf man bei Grenzwertübergängen auch nicht einfach stumpf einsetzen, sondern schauen, was passiert, wenn gegen Null geht.

Dazu muss man geschickt umformen, und häufig ausklammern (ist ja umformen...).
Ich hab grad mal die Rechnung gemacht und es sind 5 Schritte (recht ausführlich).
IHC Auf diesen Beitrag antworten »

Dann versuch ich mal was.















Kann das so stimmen?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Leider hast du gleich am Anfang einen Fehler gemacht, aber trotzdem gut weitergerechnet (also wie du vorgegangen bist, war danach sehr gut) - naja das bringt aber dann doch nichts.

Ich mache mal den Anfang:

und



IHC Auf diesen Beitrag antworten »















So müsste es eigentlich stimmen, oder? Ich habe einfach nur zu einem etwas späteren Zeitpunkt eingesetzt. (Wenn ich das richtig erkannt habe.)

mfg IHC smile
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, der Fehler ist schon in der ersten Zeile (Jetzt fehlt natürlich die Möglichkeit, das bei dir in rot anzumalen, wo der Fehler ist).

[ f(2+h)-f(x-0) ] / h
sollte aber heißen
[ f(2+h)-f(x_0) ] / h

Vielleicht auch nur ein Tippfehler.
Ich habe mir nämlich nur deine erste Zeile und dein Ergebnis (7) angesehen, aber leider ist beides falsch.

Schau dir noch mal an, was ich geschrieben habe.

Mach einfach hier weiter:
Zitat:
IHC Auf diesen Beitrag antworten »

Jop, das in der ersten Zeile war nur ein Tippfehler.



Aber ich weis nicht, wie ich da dann weiter machen soll. (Wenn meins falsch ist.)
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast auch die Werte nicht ordentlich eingesetzt.

Die Funktion heißt ja .

Jetzt setze da mal z.B. bzw ein.
Denn die Werte und brauchst du ja.
IHC Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weis nicht, wie ich das verstehen soll. Was haben die unteren Werte mit der Funktion zu tun? Muss ich in die Funktion für x einfach 2+h einsetzen?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IHC
Muss ich in die Funktion für x einfach 2+h einsetzen?


Genau das verlangt doch die Definition
Zitat:
Original von Pascal95:
Ich mache mal den Anfang:

und



IHC Auf diesen Beitrag antworten »



Was soll ich aber jetzt tun?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Zitat:
Original von IHC
Muss ich in die Funktion für x einfach 2+h einsetzen?

Genau das verlangt doch die Definition
IHC Auf diesen Beitrag antworten »



Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst .

Ja, das ist richtig.

Aber, jetzt mach doch mal hier weiter .
IHC Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
.


Dazu kann ich aber nicht mehr viel sagen, mich störten die f´s. Keine Ahnung wie ich da weitermachen soll.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, vielleicht bist du nur ein bisschen durcheinander.

Du hast jetzt ja erfolgreich berechnet.

Was musst du für den Term denn noch berechnen ?

Ok, klar.

Dann kannst du vielleicht vereinfachen und wie du in deiner anfänglichen Rechnung schon gezeigt hast, geschickt kürzen und voilà hast du schon die gesuchte Ableitung an eben jener Stelle.
IHC Auf diesen Beitrag antworten »

ehmverwirrt Muss ich vllt. noch h ausrechnen? Wobei h ja gegen 0 gehen soll. Ich stehe gerade auf dem Kanalsystem meines Dorfes. (Schlauch ist zu dünn.)
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Nee, du musst f(2) ausrechnen und dann vereinfachen...
IHC Auf diesen Beitrag antworten »

f(2)=2
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

f ist immer noch als definiert.
IHC Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich 2 in die Funktion einsetze, kommt 2 heraus.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohja, habe mich gerade verlesen, sorry.

Nun musst du vereinfachen. Dazu am besten hier erstmal die Klammer auflösen.
IHC Auf diesen Beitrag antworten »









So?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IHC



So?


Wohl ein Tippfehler, aber die 1. binomische Formel lautet .
IHC Auf diesen Beitrag antworten »









Jetzt dürfte es aber stimmen, wenn nicht muss meine Tastatur dran glauben. Big Laugh
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Von der vorletzten auf die letzte Zeile musst rauskommen .

(8h-3h=5h)

Nun betrachte den ganzen Zähler:
IHC Auf diesen Beitrag antworten »









Soll mir bei der Betrachtung des Zählers etwas auffallen?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da kann man nämlich was ganz toll vereinfachen Big Laugh

Schreib einfach mal (natürlich ausgerechnet, deswegen hast du es ja berechnet und vereinfacht) hin, und dann ist es ja ganz klar.
IHC Auf diesen Beitrag antworten »

kommt da einfach nur h raus?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Schreib einfach mal (natürlich ausgerechnet, deswegen hast du es ja berechnet und vereinfacht) hin.


Zitat:
Original von IHC
kommt da einfach nur h raus?

Nein, das wäre bei der identischen Abbildung so, aber wie f definiert ist, weißt du ja noch.
IHC Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst f(x)?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib mal ausgerechnet auf.
IHC Auf diesen Beitrag antworten »







----------





Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum rechnest du die Werte jetzt nochmals aus (übrigens falsche Fkt. genommen) ?

Du hast doch und schon gestern berechnet.

Schreib mal ausgerechnet auf.
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