Matrix und Eigenvektoren/Eigenwerte

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Tommy1169 Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix und Eigenvektoren/Eigenwerte
Hallo, ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
http://www.t-f-f.de/downloads/basis-eigenvektoren-darstellungsmatrix.jpg

Das waren meine Überlegungen, die vom Ergebnis her wohl richtig sind, dennoch möchte ich die Frage stellen ob es zu a) noch einen einfacheren Weg gibt. Ich habe auch versucht die Eigenwerte und somit die Eigenvektoren über das charakteristische Polynom zu finden, aber das dauert noch länger. So eine Aufgabe darf bei uns leider nur ca. 15 - 20min dauern sonst siehts übel aus. Vielleicht weiss ja noch jemand einen Weg um schneller ans Ziel zu kommen.

Danke erstmal und schöne Weihnachten
Tom
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a):

Ich hätte für die Eigenwerte einfach das characteristische Polynom (determinante!) bestimmt und die Eigenwert direkt aus den Nullstellen geholt anstatt so lange umzuformen. Nimmt sich aber nicht viel (ist aber schneller Wette ich Augenzwinkern wenn man eingiermaßen fit im Kopfrechnen is ), ansonsten passts.

zu b)

Richtiger Ansatz aber Du solltest dann auch av1 + bv2 + cv3 = 0 schreiben und nicht v1 + v2 + v3 = 0.

zu c)

Wenn ihr mit die Darstellung bezüglich der Eigenvektorbasis meint dann komtm da eine Diaognalmatrix raus, richtig.

edit:

Noch ein Tip zu der Determinante: Niemals ausmultiplizieren, schreib die Produkte erst mal so hin und schau was Du ausklammern kannst.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

zu a)

Nach dem Ansatz A*v=c*v mit c=Eigenwert und v=Eigenvektor lässt sich der jeweilige Eigenwert eigentlich immer problemlos ablesen wenn man die Matrix mit dem Vektor v1,v2 oder v3 multipliziert.

Gruß Björn
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte es sogar noch einfacher machen:

Du setzt und betrachtest Die erste Komponente beider Seiten. Diese Gleichung stellst Du nach lambda um und schaust dann ob dieses Lambda mit den anderen Zeilen konsistent ist.
Tommy1169 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für die schnellen Antworten.
Ich bin immer auf der Suche nach einer relativ klaren Strategie um solche oder ähnliche Probleme zu lösen. Vielleicht könnte man hier also den besten oder schnellsten Lösungsweg einmal kurz in Stichpunkten aufschreiben:

zu a)
Das Bild der Vektoren durch Multiplikation von A mit den einzelnen Vektoren darstellen.
Dadurch entstehen ja wieder 3 Vektoren(wie kann ich die bezeichnen bzw. wie werden die genannt? Vektoren des Bildes von A bezüglich der Basis mit v1, v2 und v3?) Ist das die Darstellungsmatrix?

zu c)
Danach die Basis aus v1, v2, v3 mit dem Gauss/Jordan-Verfahren in diese "Bildmatrix" oder "Darstellungsmatrix" von v1,v2,v3 überführen. Dadurch erhalte ich dann die Diagonalmatrix glaube ich, in der ich dann sofort auch die Eigenwerte von A ablesen kann

zu b)
Um zu zeigen ob oder dass die Vektoren v1,v2,v3 linear unabhängig sind, diese einfach als lineares Gleichungssystem in der Form a*v1+b*v2+c*v3=0 usw. aufschreiben und durch Gleichsetungs und/oder Einsetzungsverfahren a,b und c berechnen. Sind a,b und c gleich 0, sind auch die Vektoren v1,v2 und v3 linear unabhängig und stellen damit eine Basis des R^3 dar.

Das ist mein Weg zum Lösen dieses Problems. Ich hatte es wie schon erwähnt, auch mit Berechnung des charakteristischen Polynoms gelöst, nur dauerte dies noch um einiges länger. Es wäre nett, wenn einer von Euchnur mal kurz die Stichpunkte zum Lösen dieses Problems aufschreiben könnte.

Danke und ein schönes Fest Augenzwinkern

PS: Die letzten beiden Posts von Bjoern und Matze versteh ich glaub ich nich... omg unglücklich Ich bin noch recht unsicher und brauche einen klaren Weg, sonst hauts bei mir noch nicht so recht hin.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »






Das kann man direkt so hinschreiben ohne überhaupt überlegen zu müssen, jetzt wird Ausgeklammert:





Wir mussten bis jetzt nicht eine große Zahl ausrechnen es wird wieder ausgeklammert:



So den ersten Eigenwert kann man jetzt sofort ablesen und die andern beiden Ergeben sich aus der Lösung eines Quadratischen Polynoms, was einfach ist. Ich finde es so wesentlich angenehmer als Gauß anzuwenden, aber kann man ja machen wie man will Augenzwinkern

Zu Bjoerns Idee:

Wie er es geschrieben hat, wir wollen überprüfen ob ein Gegebener Vektor v ein Eigenvektor zu einer Matrix A ist, das heißt wir lösen einfach das Gleichungssystem:



Das ist ein Gleichungssystem mit einer Unbekannten und n Gleichungen. Und da kommt dann noch mein Hinweis dazu, damit das Gleichungssystem erfüllt ist reicht es die erste Zeile zu lösen, das kann man direkt durch umstellen machen und dann muss man nur noch schauen ob die Lösung mit den anderen Zeilen konsistent ist. Das ist wohl der geringste Aufwand den man haben kann.
 
 
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