Produkt, direkte Summe (wichtig: Familien) von Vektorräumen

10.09.2011, 13:16	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt, direkte Summe (wichtig: Familien) von Vektorräumen Hallo, ich gehe gerade mein Skript durch und scheitere an der konstruktion von Vektorräumen. Ich würde sagen ich schreibe einfach mal den entsprechenden Absatz hier auf und hoffe, dass ihr mir mit einem Beispiel oder einer Erklärung weiterhelfen könnt. 4.1 Produkt, direkte Summe von VR. Sei I eine Menge ("Indexmenge"), und sei für jedes $\begin{eqnarray} i \in I \end{eqnarray}$ ein Vektorraum $\begin{eqnarray} V_i \end{eqnarray}$ gegeben. Erinnerung: Das Produkt $\begin{eqnarray} \prod\limits_{i \in I} V_i \end{eqnarray}$ ist definiert als die Menge aller Familien $\begin{eqnarray} (v_i)_{i \in I}, v_i \in V_i \end{eqnarray}$ . Definition 4.1. (1) Das Produkt $\begin{eqnarray} \prod\limits_{i \in I} V_i \end{eqnarray}$ ist zusammen mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation ein VEktorraum und heißt das Produkt der Vektorräume $\begin{eqnarray} V_i \end{eqnarray}$ . . . Irgendwie verstehe ich das mit der Menge aller Familien nicht. Kann da eventuell mal jemand ein einfaches Beispiel von zwei Vektorräumen mit vorstellbaren Elementen geben? Ich komm einfach nicht so wirklich damit klar. Wenn ich mal bei Wikipedia gucke, dann lese ich, dass das Produkt sich bei einer endlich dimensionalen Indexmenge nicht von der direkten Summe unterscheidet. Da verstehe ich dann aber nicht mehr, woher man weiß, ob die Vektorräume überhaupt zusammen eine direkte Summe bilden. Dafür müssen die Vektorräume doch im Schnitt nur den Nullvektor haben. Oder ist das Ziel sozusagen nur ein Vektorraum welcher keine linear abhängigen Elemente enthält? Also ihr seht, ich komme damit überhaupt nicht klar. Ich verstehe nicht was eine Familie von Vektorräumen ist und somit auch die Definition nicht. Ich glaube wenn mir jemand das mit der Familie erklärt wäre mir schon deutlich weiter geholfen. Gruß Martin
10.09.2011, 13:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfaches Beispiel: $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist ein reeller Vektorraum. $\begin{eqnarray} \mathbb R^2=\mathbb R\times \mathbb R=\prod_{i=1}^2 \mathbb R=\mathbb R \oplus \mathbb R \end{eqnarray}$
10.09.2011, 14:01	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh, also ist das Produkt aus zwei Vektorräumen dann einfach jede mögliche Kombination von Vektoren des ersten Vektorraums mit Vektoren des zweiten Vektorraums? Ist das eine Familie? Ich kenne nur Familien von Vektoren welche halt linear abhängig oder unabhängig sein können etc. Außerdem verstehe ich nicht wie die beiden Vektorräume die direkte Summe bilden können. $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ sind doch identlisch. Haben also im Schnitt nicht nur den Nullvektor. Ich kenne bisher die direkte Summe zweier Untervektorräume, wo die beiden Untervektorräume im Schnitt nur den Nullvektor enthalten und dann vereint werden. Oder sehe ich das falsch? Also wenn der VR V als direkte Summe von A und B dargestellt wird, dann enthalten A und B im Schnitt nur den Nullvektor und ergeben vereinigt V. Edit: Mir ist dann auch die Formulierung bei der Erinnerung an eine Familie unklar. Das sieht ja auch wie eine Folge von Elementen aus V. Aber welche Folge? Alle Elemente? Also ich komm mit der Schreibweise nicht zurecht. Ich weiß nicht was das ausdrücken sol. Gruß Martin
10.09.2011, 14:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach dir das Leben nicht komplizierter als es ist. Du kennst doch die Ebene $\begin{eqnarray} \mathbb R^2=\{(x,y)\|x,y\in \mathbb R\} \end{eqnarray}$ , die am Produkt beteiligten Vektorräume sind die x-Achse und die y-Achse, beide = $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ , der Durchschnitt zwischen x-Achse und y-Achse ist (0,0). Jede Familie ist in diesem Beispiel ein Tupel (x,y) reeller Zahlen. Genau so einfach ist das immer. Das Produkt von Vektorräumen ist als Menge das kartesische Produkt. Das kann man durch punktweise Operationen zu einem Vektorraum machen. Noch einfacher geht nicht.
10.09.2011, 14:40	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah stimmt. So macht das schon Sinn. Ich will es mir ja eigentlich auch gar nicht kompliziert machen ich würde nur gerne verstehen warum ich nicht verstehe was da steht in der Definition: Also dieses "Das Produkt $\begin{eqnarray} \prod\limits_{i \in I} V_i \end{eqnarray}$ ist definiert als die Menge aller Familien $\begin{eqnarray} (v_i)_{i \in I}, v_i \in V_i \end{eqnarray}$ " muss doch eine Bedeutung haben welche verständlich ist. Also das muss sich doch irgendwie Sprachlich ausdrücken lassen in der Form: Man nimmt für alle i der Indexmenge die Folge v_i wobei die einzelnen v_i alle in V_i liegen müssen. Also irgendwie würde ich gerne verstehen wie diese Familie von Vektorräumen gebildet wird. Das scheint ja als wäre eine Familie von Vektorräumen zum Beispiel folgendes: $\begin{eqnarray} (v_1), v_1 \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Das müsste ja eine Familie von Vektoren aus $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ sein. Ah, vielleicht komm ich grad selbst drauf. Meint das vielleicht, dieses $\begin{eqnarray} (v_i)_{i \in I} \end{eqnarray}$ einfach ein i-Tupel ist, welches aus jedem beteiligten Vektorraum ein Element enthält? Also gerade ein Element des kartesischen Produkts? Dann hab ichs denke ich kapiert und denke das führt auch zu dem selben Ergebnis wie bei dir. Danke sehr. Gruß Martin
10.09.2011, 14:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so einfach ist das. Die Definition ist nur deshalb so kompliziert, weil man auch beliebige Indexmengen zulassen möchte. Das ist bei Produkten aus unendlich vielen Vektorräumen notwendig, dann muss I nicht einmal mehr als Menge klar definiert sein, sondern man nimmt irgendein I. Ein Element aus einem unendlichen kartesischen Produkt, dass zu jedem Index aus I ein Element enthält, heißt Familie. $\begin{eqnarray} (v_i)_{i \in I} \end{eqnarray}$ ist im allgemeinen keine Folge von Vektoren. Eine Folge von Vektoren hat man nur in dem Spezialfall, dass alle Vektorräume gleich sind und $\begin{eqnarray} I=\mathbb N \end{eqnarray}$ gilt. Es kann $\begin{eqnarray} I=\mathbb R \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} I=\{e^{i\phi}\|\phi\in [0,2\pi)\} \end{eqnarray}$ oder sonst was sein. Im letzteren Fall indiziert man die Familie mit dem komplexen Einheitskreis. Und es gibt noch unendlich viel kompliziertere Familien. Fazit: Egal wie einfach oder kompliziert das Produkt aus Vektorräumen gebildet wird, das Produkt ist ein Vektorraum.
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