Linearkombination von Vektoren

11.09.2011, 13:21

MatHii

Linearkombination von Vektoren

Meine Frage:
Hallo!

Ich hatte in einer Klausur eine Aufgabe, mit der ich gar nicht zurecht kam, und zwar Linearkombination von Vektoren. Das Bild davon ist im Anhang. Ich weiß nicht, wie ich auf das richtige Ergebnis komme.

Die Aufgabe dazu hieß: In der nebenstehenden Figur (Anhang, wie gesagt) sei $\begin{eqnarray*} \vec{OP}=\frac{2}{5}\vec{OA} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{AQ}=\frac{2}{3}\vec{OB} \end{eqnarray*}$ , ferner sei M der Mittelpunkt der Strecke PQ.
Drücke die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{PQ} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{BM} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a}=\vec{OA} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b}=\vec{OB} \end{eqnarray*}$ aus.

Meine Ideen:
Als eigene Lösung hatte ich $\begin{eqnarray*} \vec{PQ}=\frac{2}{5}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{BM}=\frac{4}{5}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b} \end{eqnarray*}$

Die richtige Lösung ist aber: $\begin{eqnarray*} \vec{PQ}=\frac{3}{5}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b} \end{eqnarray*}$ und die Lösung vom Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{BM} \end{eqnarray*}$ hat meine Lehrerin mir nicht dahin geschrieben.

11.09.2011, 14:06

Helferlein

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Du musst schauen, wie Du vom ersten zum zweiten Punkt kommst.
Für den ersten Vektor gilt beispielsweise:

$\begin{eqnarray*} \vec{PQ} = \vec{PA}+\vec{AQ} = \vec{OA}-\vec{OP}+\vec{AQ} \end{eqnarray*}$

11.09.2011, 17:47

MatHii

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Okay, das hab ich schonmal verstanden, danke. Aber was ist mit dem zweiten Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{BM} \end{eqnarray*}$ ?
Da hab ich wirklich Schwierigkeiten mit, also vor allem deshalb, weil ich mit dem Mittekpunkt nicht zurecht kommt zwischen P und Q.

11.09.2011, 17:51

Bjoern1982

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Zitat:

Okay, das hab ich schonmal verstanden, danke.

Das bedeutet, du müsstest ja jetzt den Vektor von P nach Q durch die Vektoren a und b ausgedrückt haben.

Nun stell doch mal analog zu Helferleins Beitrag eine Gleichung für $\begin{eqnarray*} \vec{BM} \end{eqnarray*}$ auf.

11.09.2011, 18:00

MatHii

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Ich würde jetzt sagen:
$\begin{eqnarray*} \vec{BM}=(\frac{\frac{3}{5}\vec{a}+\frac{2}{5}\vec{b}}{2})-\vec{b}+\frac{2}{5}\vec{a} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig? verwirrt

11.09.2011, 18:06

Helferlein

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Sieht gut aus.
Es wäre aber verständlicher, wenn Du es zunächst über die Punkte ausgedrückt hättest.

$\begin{eqnarray*} \vec {BM} = \vec{BO} + \vec{OP} + \frac 12 \vec {PQ} \end{eqnarray*}$

11.09.2011, 18:08

MatHii

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Okay, vielen Dank für die Hilfe, jetzt habe ich es verstanden und hoffe, es auch auf andere Aufgaben derselben Art anwenden zu können! Tanzen

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