Integralrechnung

11.09.2011, 14:04

Shqiptari

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Integralrechnung

Meine Frage:
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Bestimmen Sie den inhalt der Fläche A, die sich - begrenzt vom Graphen der Funktion F (x)= 1/8 x^2, vom Graphen der Funktion g (x)= 2/(x-3)^2 und von der x-Achse - längs der positiven x-Achse ins Unendliche erstreckt.

Meine Ideen:
Ich weiß leidr gar nicht, wie ich vorgehen soll. Über jede Antwort und Tipp würde ich mich freuen.

11.09.2011, 14:09

Helferlein

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Ich würde mit einer groben Skizze und den Schnittpunkten anfangen.

11.09.2011, 14:20

Shqiptari

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[attach]21103[/attach]

P (4/2)

11.09.2011, 14:21

Shqiptari

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Welche Fläche genau ist gesucht?

11.09.2011, 14:52

Bjoern1982

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Diese hier:

11.09.2011, 14:58

Shqiptari

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Achso verstehe. Kann ich jetzt zum Beispiel mit der Gleichung f (x) mit dem Punkt b (4/0) die eine Fläche Berechnen und die andere jeweils getrennt?

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11.09.2011, 15:01

Bjoern1982

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Vielleicht meinst du das Richtige, drückst dich aber etwas ungeschickt bzw falsch aus.
Versuche den Sachverhalt mal durch entsprechende Integrale zu beschreiben.
Benutze dafür gerne auch den Formeleditor.

11.09.2011, 15:10

Shqiptari

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Wir haben ja diesen einen Schnittpunkt (4 / 2) und die Funktion f (x)

$\begin{eqnarray*} f (x)= \frac{1}{8} x^2 \end{eqnarray*}$

Könnte ich jetzt diese Fläche mit

$\begin{eqnarray*} \int_0^4 \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

und den anderen Teil, also

$\begin{eqnarray*} \int_4^\infty \! g(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Das ich halt beide von einander getrennt ausrechne. Kann man bzw. darf man das so machen?

11.09.2011, 15:22

Bjoern1982

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Ja, genau so funktioniert das. Freude

Freude

11.09.2011, 15:25

Helferlein

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Kurzer Einwand: Den Schnittpunkt hast Du hoffentlich errechnet und nicht abgelesen. Ansonsten fehlt nämlich ein Teil der Lösung.

11.09.2011, 15:29

Shqiptari

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Ja denn versuche ich gerade, durch Gleichsetzungsverfahren, auszurechnen. Dann für die Hilfe smile

smile

ihr beiden

11.09.2011, 15:50

Shqiptari

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Ich komm irgendwie nicht auf die Lösung. Ich häng grad fest.

$\begin{eqnarray*} f (x)= g (x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} x^2 = \frac{2}{(x-3)^2} | - \frac{2}{(x-3)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} x^2 - \frac{2}{(x-3)^2}= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} x^2 - \frac{2}{x^2-9}= 0 \end{eqnarray*}$

Wie soll ich jetzt weiter machen? verwirrt

verwirrt

11.09.2011, 16:00

Bjoern1982

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Denk nochmal genau über die 2. binomische Formel nach. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Multipliziere die Gleichung mit dem Hauptnenner.

Edit:

Man kann auch noch geschickter vorgehen, indem man die Gleichung auf die Form z²=16 bringt

11.09.2011, 16:08

Shqiptari

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Ich habs verstanden danke. x=4 smile

smile

11.09.2011, 16:11

Bjoern1982

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Das wäre aber nur eine der beiden möglichen (rellen) Lösungen.
Wie bist du vorgegangen ?

11.09.2011, 16:15

Shqiptari

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$\begin{eqnarray*} f (x)= g (x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} x^2 = \frac{2}{(x-3)^2} | - \frac{2}{(x-3)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} x^2 - \frac{2}{(x-3)^2}= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} x^2 - \frac{2}{x^2-9}= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} x^2 - \frac{2}{x^2 -6x +9}= 0 |* x^2 -6x +9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} x^2 - 2= 0 |+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} x^2 = 2 |: \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} x^2 = 16 |Wurzel ziehen \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} x = 4 \end{eqnarray*}$

Und dann noch y ausrechnen, wird aber fürs weitere rechnen nicht benötigt.

11.09.2011, 16:22

Bjoern1982

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Puh das ist leider extremst falsch.

Zum einen musst du auch bedenken, dass du jeden Summanden einer Gleichung mit dem entsprechenden Faktor multiplizierst.
Später ziehst du die Wurzel zudem auch noch verkehrt.

Damit es nicht zu aufwendig wird, hier mal ein Ansatz:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f (x)= g (x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} x^2 = \frac{2}{(x-3)^2} | \cdot 8 \cdot {(x-3)^2} <=> ... \end{eqnarray*}$

Statt jetzt eine binomische Formel zu benutzen, verwende lieber $\begin{eqnarray*} a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n \end{eqnarray*}$

11.09.2011, 16:34

Shqiptari

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Hmm, wenn ich es richtig verstanden hab dann sollte die Rechnung so aussehen.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} x^2 = \frac{2}{(x-3)^2} | \cdot 8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 = \frac{16}{x^2 -3^2} | Wurzel ziehen \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 = \frac{4}{x -3} \end{eqnarray*}$

Ist der Ansatz schon mal richtig`?

11.09.2011, 16:40

Bjoern1982

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Warum machst du denn nicht was ich dir schon mundgerecht hinschreibe verwirrt

verwirrt

Das Multiplizieren mit 8 ist ok.
Du solltest aber nichts an der Klammer machen, sondern einfach auch noch mit (x-3)² multiplizieren.
Und auch von Wurzelziehen steht bei mir noch nichts.

11.09.2011, 16:51

Shqiptari

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} x^2 = \frac{2}{(x-3)^2} | \cdot 8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 = \frac{16}{(x -3)^2} | \cdot (x -3)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 \cdot (x -3)^2= 16 \end{eqnarray*}$

11.09.2011, 16:54

Bjoern1982

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Gut, und nun

Zitat:

Statt jetzt eine binomische Formel zu benutzen, verwende lieber $\begin{eqnarray*} a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n \end{eqnarray*}$

11.09.2011, 17:03

Shqiptari

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$\begin{eqnarray*} x^2 \cdot (x -3)^2= 16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^4 + 9 = 16 |-9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^4 = 7 \end{eqnarray*}$

11.09.2011, 17:07

Bjoern1982

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Steht da was von Klammern auflösen ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du löst sie zudem auch falsch auf (wie schon vorher erwähnt).
Was ist hier a und was hier b auf der linken Seite der Gleichung ?

11.09.2011, 17:15

Shqiptari

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$\begin{eqnarray*} x^2 \cdot (x -3)^2= 16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^4 - 9x^2 = 16 \end{eqnarray*}$

So ungefähr?

11.09.2011, 17:17

Bjoern1982

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Wenn du möchtest, dass es weiter geht antworte bitte auf meine Frage.

11.09.2011, 17:22

Shqiptari

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$\begin{eqnarray*} a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 \cdot 3^2=(x \cdot 3)^2 \end{eqnarray*}$

a = x^2
und
b = 3^2

11.09.2011, 17:26

Bjoern1982

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Das ist zwar an und für sich richtig, aber etwas völlig anderes als das was eigentlich auf der linken Seite steht.

Die linke Seite ist doch x²(x-3)² und damit a=x und b=x-3 (und n=2).
So und nun das obige Potenzgesetz anwenden.

11.09.2011, 17:32

Shqiptari

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Achso das meintest du.

$\begin{eqnarray*} a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 \cdot (x -3)^2= 16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 (x^2 - 3^2)= 16 \end{eqnarray*}$

11.09.2011, 17:38

Bjoern1982

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2. Zeile TOP aber 3. Zeile.... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du bastelst dir da immer irgendwelche Gesetze zusammen, die es gar nicht gibt.
So langsam finde ich das auch etwas merkwürdig, da ich die ja jetzt desöfteren gesagt habe, dass du die Klammer falsch auflöst.

$\begin{eqnarray*} x^2 \cdot (x -3)^2= 16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x \cdot (x -3))^2= 16 \end{eqnarray*}$

Einverstanden ?

11.09.2011, 17:45

Shqiptari

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Ja, einverstanden. smile

smile

$\begin{eqnarray*} (x \cdot (x -3))^2= 16 \end{eqnarray*}$

Ich nimm jetzt die x mal x-3

$\begin{eqnarray*} (x^2 -3x)^2= 16 \end{eqnarray*}$

Und jetzt die binomische Formel

11.09.2011, 17:48

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} (x^2 -3x)^2= 16 \end{eqnarray*}$

Sooo, genau da wollt ich mit dir hin. smile

smile

Und nun eben nicht die binomische Formel benutzen, sonst ist unser "Trick" wertlos und wir müssten mühsam mit Polynomdivision oder Horner arbeiten.

In der Klammer steht ja nun ein Term, nämlich x²-3x.
Was müsste man denn für diesen Term einsetzen, damit quadriert dann auch 16 rauskommt ?

11.09.2011, 17:53

Shqiptari

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Meinst du für x?

11.09.2011, 17:56

Bjoern1982

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Erstmal nur für den ganzen Term.
Oder anders ausgedrückt, welche Zahlen ergeben denn quadriert 16 ?

11.09.2011, 17:58

Shqiptari

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Die 4

11.09.2011, 18:01

Bjoern1982

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Und noch eine (die immer gerne vergessen wird). Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.09.2011, 18:08

Shqiptari

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Ich weiß nicht. verwirrt

verwirrt

11.09.2011, 18:12

Bjoern1982

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Lass dich mal hiervon inspirieren:

11.09.2011, 18:14

Shqiptari

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-4

Hammer

11.09.2011, 18:17

Bjoern1982

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Aha.

Augenzwinkern

So und das verpacken wir jetzt nur noch in 2 (quadratische) Gleichungen, welche es dann zu lösen gilt.

Die Zahl in den Klammern muss also entweder 4 oder -4 sein, damit die Gleichung $\begin{eqnarray*} (x^2 -3x)^2= 16 \end{eqnarray*}$ aufgeht.

Daraus ergibt sich also x²-3x=4 oder x²-3x=-4

So und jetzt vollende es. Freude

Freude

11.09.2011, 18:23

Shqiptari

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Achso du hast also $\begin{eqnarray*} (x^2 -3x)^2= 16 \end{eqnarray*}$ wurzel gezogen.

das heißt also wir haben zwei möglichkeiten x²-3x=4 oder x²-3x=-4, die lösen ich, wenn ich die 4 auf die andere seite bringe, durch die pq formel.

Korrekt?

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