Normalteiler der S_4

11.09.2011, 16:08	Lisachen	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalteiler der S_4 Meine Frage: Hallo Leute, ich hab da mal ne kleine Frage. Wie kann ich zeigen, dass wenn $\begin{eqnarray} N \triangleleft S_4 \end{eqnarray}$ gilt, $\begin{eqnarray} \newcommand{\id}{\textrm{id}} N \in \{\{\id\},V,A_4,S_4\} \end{eqnarray}$ folgt. Meine Ideen: Vielen Dank schon einmal.
13.09.2011, 18:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht man, wenn man alle Untergruppen kennt. Siehe z.B. hier: http://en.wikiversity.org/wiki/File:S4_Hasse.svg Übrigens ist für $\begin{eqnarray} n=3 \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} n\geq 5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ der einzige nichttriviale Normalteiler von $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ .
13.09.2011, 19:38	Lisachen	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für deine Antwort. Dass $\begin{eqnarray} V,A_4 \triangleleft S_4 \end{eqnarray}$ ist klar. $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray}$ fällt aufgrund der Tatsache, dass wenn $\begin{eqnarray} \langle \tau \rangle \triangleleft S_4 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \newcommand{\ord}{\textrm{ord}} \ord{(\tau)}=2 \end{eqnarray}$ sofort $\begin{eqnarray} \newcommand{\id}{\textrm{id}} \tau \in Z(S_4) = \{ \id \} \end{eqnarray}$ . Widerspruch. $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray}$ fällt wegen Sylow weg; genau wie $\begin{eqnarray} D_4 \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} \langle (1234),(12)(34) \rangle \neq \langle (1324),(13)(24) \rangle \end{eqnarray}$ . Gibt es jetzt noch ne schöne Sache zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_4,S_3 \ntriangleleft S_4 \end{eqnarray}$ . LG

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