Eine Basis B des Kerns der Matrix A |
12.09.2011, 14:49 | FloTU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Eine Basis B des Kerns der Matrix A Bestimme eine Basis B des Kerns der Matrix Meine Ideen: LGS Lösen: Daraus folgt x3 und x4 sind frei wählbar. für x3 = 1 x4 = 1 ist Ich bin mir nicht sicher ob das jetzt die richtige Lösung für die Aufgabenstellung ist? Kann ich den Kern auch so schreiben: Oder ist eine Basis des Kerns jetzt einer der Vektoren: |
||||||||
12.09.2011, 14:54 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Eine Basis B des Kerns der Matrix A Beide Vektoren bilden eine Basis des Kerns. Merkregel: setze sukzessive eine frei wählbare Variable = 1 und die anderen = 0. Bestimme dann jeweils die anderen Komponenten. |
||||||||
12.09.2011, 15:08 | FloTU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn einsetze: x3=0 x4=1 oder x3=1 x4=0 kommt das raus: ist das jetzt eine Basis des Kerns ? Dann kann ich jetzt für meine Parameter beliebige Werte einsetzen und bekomme immer eine Basis des Kerns ? |
||||||||
12.09.2011, 15:22 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein. Das kommt nur raus für x3=1 und x4=0 . Für x3=0 und x4=1 kommt was anderes raus.
Das ist ein Vektor (Element) der Basis.
Nur wenn du konsequent die Merkregel befolgst. |
||||||||
12.09.2011, 15:34 | FloTU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Basis des Kerns wird also durch die zwei Vektoren gebildet. Somit ist die Basis des Kerns: |
||||||||
12.09.2011, 15:53 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig. Wobei das bei genauer Betrachtung nur eine mögliche Basis ist. |
||||||||
Anzeige | ||||||||
|
||||||||
12.09.2011, 16:05 | FloTU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was wäre denn eine weitere mögliche Basis ? Nach Merkregel gilt ja bei meinem Fall: x3=1 x4=0 x3=0 x4=1 |
||||||||
12.09.2011, 16:07 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Natürich kommt bei dieser Regel eben genau diese Basis raus. Das Algebra-Grundwissen sagt uns aber, daß ein Vektorraum auch eine andere Basis haben kann. |
||||||||
12.09.2011, 21:12 | FloTU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke für die Hilfe. |
||||||||
13.09.2011, 13:31 | martha.1981 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe auch nochmal was versucht, wäre nett wenn mir jemand meine Lösung auch nochmal prüfen könnte. Spalte 3 und 4 sind linear abhängig. Wegen (Spalte 1 minus Spalte 3)*(-1) = Spalte 2 sind die erste drei linear abhängig. Spalte 1 und 3 aber linear unabhängig, also rk(A)=2 Es git dim(im(A))=rk(A) und es gilt also also . Der Lösungsraum von Av=0 ist gleich dem Kern. Wähle x,y mit Ax=0 und Ay=0 und y,x linear Unabhängig. Zeilenumformungen auf A ergeben Wähle geraten habe ich jetzt aber, dass ich annehmen kann . Ist das okay? m |
||||||||
13.09.2011, 13:36 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich weiß jetzt nicht, was diese Betrachtung soll, denn den Rang der Matrix liest man doch direkt ab.
Weder x noch y liegen im Kern, wie man leicht nachrechnet. |
||||||||
13.09.2011, 17:48 | martha.1981 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ah ja, aber (0,0,-1,1) und (1,1,-1,0) spannen den Kern auf. Ich kann den Rang nicht direkt ablesen. Woran siehst du das direkt? Könntest Du mir noch die Frage, ob ich aus direkt schließen kann beantworten? |
||||||||
14.09.2011, 09:41 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, womit wir eine weitere Basis des Kerns gefunden haben.
Wenn sich die Matrix in Zeilenstufenform befindet, dann ist der Rang die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen.
Nun ja. Eine Matrix A impliziert eine Abbildung mit a(v) = A*v. Rein formal kann man aber nicht eine Matrix mit einer Abbildung gleichsetzen. |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
Die Neuesten » |
|