Pons Asinorum |
| 12.09.2011, 19:14 | graw | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Pons Asinorum Hallo Community, Ich habe eine Frage zum Beweis für den Satz "In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich" nach Euklid "pons asinorum". Dabei beschäftige ich mich, durch ein Übungsbuch gefordert, mir der Frage nach einer drastischen Vereinfachung des Beweises und wollte fragen ob dieser wirklich eine Vereinfachung ist und so akzeptiert werden kann. Ich bin selbst ein zukünftiger Mathestudent und möchte deshalb die Herangehensweise für das Beiweisen richtig und sauber erlernen. Kritik ist deshalb sehr wünschenswert ! Meine Ideen: Gegebenen ist das Dreieck ABC, die Winkel seien mit a (alpha),ß (beta) und y (gamma) bezeichnet. Es sei AC=BC. Daraus folgt die Bezeichnung für a und ß als Basiswinkel. Meine Argumentation: Teile das Dreieck mit einer Strecke vom Anfangspunkt C, so dass der Endpunkt D die Strecke AB halbiert. Durch die Halbierung der Strecke sind zwei weitere Dreiecke entstanden, nämlich ACD und BCD ,welche selbst Rechtewinkel besitzen. Die Rechtewinkeln werden jeweils mit o(1) (sigma) und o(2) (sigma) bezeichnet. Durch das Axiom das besagt, dass in der euklidischen Geometrie alle Dreiecke 180° besitzen lässt sich folgende Gleichung aufsetzen: ½ y ? Ensteht durch die Halbierung der Dreiecke. , o (1) = ½ y + ß (Dreieck BCD) , o (2) = ½ y + a (Dreieck ACD) Daraus folgt dieses Verhältnis: ½ y + ß = ½ y + a ß = a (wollte Zeichen für Alpha etc. benutzen doch scheinbar ging es irgendwie nicht sry.) Ich hoffe ihr versteht alles, wenn etwas unklar ist bitte Bescheid sagen. |
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| 12.09.2011, 19:26 | PhyMaLehrer | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn wir quasi noch nicht wissen, daß die Basiswinkel gleichgroß sind, können wir dann so einfach sagen, daß die Strecke CD auf AB senkrecht steht und den Winkel Gamma halbiert? |
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| 14.09.2011, 02:04 | graw | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ahhhh Vielen Dank für eine Antwort. Ja total richtig, dass habe ich in meiner Vorstellung einfach für verständlich gehalten, was ja gar nicht zutrifft. Danke! |
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| 14.09.2011, 09:11 | PhyMaLehrer | Auf diesen Beitrag antworten » |
Allerdings haben wir nach Einzeichnen der Strecke CD zwei Dreiecke ADC und DBC mit AC = BC nach Voraussetzung AD = DB nach Konstruktion CD gehört beiden Dreiecken an. Daraus folgt, ... 
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| 14.09.2011, 12:23 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bei Aufgaben zur Axiomatik hängt alles von den Axiomen ab. Man kann hier nur helfen, wenn man weiß, wovon ausgegangen wird. PhyMaLehrer spielt wohl auf die Kongruenzsätze an. Gut, wenn man die voraussetzt, kann man hier einen Beweis führen. Was aber, wenn die Kongruenzsätze nicht vorausgesetzt werden? Es wäre durchaus auch denkbar, die Sache auf Symmetrieaxiome zurückzuführen. Oder vielleicht gar den Satz vom gleichschenkligen Dreieck selbst als Axiom zu nehmen? |
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