Ungl. beschleunigte aufeinander zufahrende Fahrzeuge

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Anjohn Auf diesen Beitrag antworten »
Ungl. beschleunigte aufeinander zufahrende Fahrzeuge
Die Aufgabe

Ich habe für meine Bachelorarbeit softwaretechnisch einen Bremsregler entworfen. Jetzt muss ich berechnen, was passiert, wenn zwei Fahrzeuge mit dem gleichen Regler aufeinander zufahren.

Der Regler beginnt zu bremsen, sobald er eine individuelle Bremskraft
benötigt. Für a gilt dann natürlich


Die Bremsleistung errechnet sich als
wobei d der Abstand zu einem Hindernis ist.

Meine Überlegungen

Ein mathematisches Modell ergibt sich nun durch ersetzen von
durch

und durch .

Damit erhält man folgende Differentialgleichung:


Jetzt muss ich noch sicherstellen, dass

und

gelten.

Die erste Bedingung ist mit


Ein zweiter Anfangswert ergibt sich als


Rechnen darf ich nur, bis

gilt. Danach handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

Wenn ich das jetzt löse erhalte ich sicher, dass bei einem Abstand von 0 eine Geschwindigkeit von 0 vorherrscht, und dass das Fahrzeug mit konstantem gebremst hat. Es würde sozusagen einfach auf eine Wand zufahren.

Im Modell fehlt jetzt noch, dass zwei Fahrzeuge aufeinander zufahren. Ich hatte mir so etwas überlegt wie dass der Abstand stets mit der doppelten Rate abnimmt. Keine Ahnung ob ich da irgendwo mal zwei rechnen darf.

Sind solche Differentialgleichungen überhaupt lösbar? Ich habe in meinem Studium nur lineare DGLs lösen müssen.

Kann ich das überhaupt ausrechnen???

Bitte helft mir!!! Ich habe einfach nicht die Fähigkeiten, dieses Problem zu lösen und möchte aber eines Tages mal meine Arbeit einreichen!
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Um das ganze zu verstehen: Du startest bei und fährst (anfänglich) mit einer Geschwindigkeit von auf die Mauer bei Position 0 zu? verwirrt

Ich musste das mit den Vorzeichen nämlich erstmal entknoten, weil ich anfänglich von ausgegangen war - und dann passt das ganze hinten und vorn nicht.


Trotzdem: Bei dieser Sichtweise muss positiv sein (damit die anfänglich negative Geschwindigkeit beim Abbremsen betragsmäßig kleiner wird), was sich in der Formel



nicht widerspiegelt. M.E. müsste das also korrekt lauten, zumindest wenn das von dir bestätigte zutrifft, d.h., du nicht dort noch mit irgendwelchen Vorzeichenwechseln operieren willst!
Anjohn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo René,

erst mal danke für deine Antwort.

Wie kommst du darauf, dass gilt?
Ich fahre auf eine Mauer mit einer positiven Geschwindigkeit zu und möchte bremsen. Brauche ich dafür dann nicht eine negative Beschleunigung?

Es soll definitiv gelten. Tut mir Leid, dass ich das vergessen habe.

Am Ende möchte ich allerdings auf ein Fahrzeug zufahren, das den Abstand und zur Einfachheit auch die Startgeschwindigkeit besitzt!

Da beide Fahrzeuge dann kein statisches Hindernis mehr vor sich haben, werden sie ihre Bremsleistung linear zum sinkenden Abstand zueinander erhöhen.

Das ganze ist deswegen interessant, weil beide Fahrzeuge noch ein Schutzfeld besitzen, ich also in Wirklichkeit den Abstand zu einer Sicherheitsaura (Sicherheitsabstand) berechne. Ich möchte am ende Maximalgeschwindigkeit, Größe des Schutzfeldes und relative anfängliche Bremsleistung miteinander in Beziehung setzen.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anjohn
Wie kommst du darauf, dass gilt?

Wenn du von startest und auf die Mauer bei Position 0 zu- statt wegfahren willst, brauchst du eine negative Geschwindigkeit!

Übrigens: In dem gegenteiligen Fall, wo du mit startest und dich mit auf die Mauer zubewegst, ist die Beschleunigung tatsächlich negativ, aber auch dort ist , diesmal aber wegen .

Kurzum: beisst sich in beiden möglichen Betrachtungsfällen mit .


Und nochwas: Wenn du schon von negativer Beschleunigung sprichst (ich nehme also im folgenden die zweite Betrachtungsweise an), was soll dann dies hier

Zitat:
Original von Anjohn
Für a gilt dann natürlich

wo explizit von positiven Beschleunigungen gesprochen wird. verwirrt

Also bereinige mal dieses Vorzeichenchaos, und zwar indem du wirklich drüber nachdenkst, statt hier die Problemstellung nochmal zu schildern, die ich schon nach dem ersten Post verstanden habe.
Anjohn Auf diesen Beitrag antworten »

Ay Freude
Dann würde ich es so formulieren:








Wenn ich jetzt und in einsetze, kommt heraus, welches kleiner Null ist.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

So richtig zugehört hast du mir nicht: Wenn du so startest

Zitat:
Original von Anjohn



dann bewegst du dich (zumindest zunächst) von der Mauer weg. In deiner mündlichen Beschreibung lese ich nichts davon.

Nochmal: Das ist nicht in Einklang zu bringen mit deinem Brems-Szenario.
 
 
Anjohn Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich mir das bei einer konstanten Bremskraft anschaue, sehe ich es erst:




Wenn ich hier mit einem positiven starte, dann steigt zunächst. Damit es von Beginn an kleiner wird, muss ich bei ein setzen.

In meinem Fall muss also

definiert sein.

Finger1
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Mich würde mal interssieren, welche physikalische Modell hinter deiner Differenzialgleichung steckt:



Abgesehen vom konstanten Massefaktor m ist der 1.Summand das Produkt aus Bremskraft und momentanem Abstand x (zur Mauer). Der 2.Summand ist die kinetische Energie des Autos. Welcher Sinn steckt dahinter? Warum soll die Bremung genau so erfolgen? Soll etwa die kinetische Energie gleichmäßig in Wärme umgewandelt werden (zeitlich betrachtet)?

Man kann die Dgl. übrigens auch in folgender Form schreiben



----------------------
Übrigens die Bremsleistung P ist meiner Meinung nach die momentane Abnahme der kinetischen Energie pro Zeit, also die momentane Wärmeleistung in den Bremsklötzen, also



Darin ist die kinetischen Energie

Du schreibst aber

Das ist die durchschnittliche Abnahme der kinetischen Energie pro Entfernung zur Mauer.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösung dieser DGL ist übrigens auch klar, zumindest im Fall sofern die Voraussetzung erfüllt:

Das Fahrzeug bremst gleichmäßig mit ab, bis es genau im Nullpunkt nach Zeit zum Stillstand kommt, d.h.



.
Anjohn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ehos
Soll etwa die kinetische Energie gleichmäßig in Wärme umgewandelt werden (zeitlich betrachtet)?

Übrigens die Bremsleistung P ist meiner Meinung nach die momentane Abnahme der kinetischen Energie pro Zeit, also die momentane Wärmeleistung in den Bremsklötzen, also



Darin ist die kinetischen Energie

Du schreibst aber

Das ist die durchschnittliche Abnahme der kinetischen Energie pro Entfernung zur Mauer.

Eigentlich wollte ich nur eine ungleichmäßig beschleunigte Bewegung ausrechnen. Das schaffe ich solange ich eine konstante Änderungsrate der Beschleunigung habe. Also sowas:

Ich habe das Gefühl du willst mir einfach nur vor Augen führen, wie unwissend ich im Vergleich zu dir bin. Wenn es dir hilft Ehos, möchte ich zugeben, dass du viel mehr weißt als ich und auch besser Mathematik beherrschst.

Ich wollte jetzt anfangen, eine Funktion für die Beschleunigung zu basteln und dabei ist mir aufgefallen, dass am Ende wohl eine Differentialgleichung herauskommen wird.

Lieber René, ich wollte nur zeigen, dass ich mir um mein Problem bereits Gedanken gemacht habe und niemanden suche, der mir Lösungen produziert weil ich selbst zu faul dafür bin. Das mathematische Modell für die Bremsung ist definitiv nicht fertig und richtig war es auch nicht!! Wenn ich auf eine Mauer zufahre, ergibt sich natürlich eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Ich möchte jetzt irgendwie erreichen, dass zwei Fahrzeuge mit diesem Modell aufeinander zufahren, denn dann wird sich auch die Bremsstärke der Fahrzeuge im laufe der Zeit erhöhen.
Dafür muss ich irgendwie die Distanz doppelt so schnell verringern, bei gleichem Bremsverhalten. Dann kommen die Ableitungen aber nicht mehr hin. Wenn ich wüsste, wie ich das machen könnte, würde ich hier nicht posten. Ich habe diese Aufgabe gestellt, weil ich es selber nicht besser kann und auf die Hilfe von euch Mathematikern angewiesen bin.

Ich bin für jede Hilfe wirklich sehr dankbar und versuche auch, daraus etwas zu lernen! Dass ich mich mit den Vorzeichen vertan habe, tut mir wirklich Leid.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anjohn
Lieber René, ich wollte nur zeigen, dass ich mir um mein Problem bereits Gedanken gemacht habe und niemanden suche, der mir Lösungen produziert weil ich selbst zu faul dafür bin.

Schöner Vortrag - nur warum hältst du den mir? Sowas habe ich nie behauptet, sondern nur, dass du schlecht zuhörst: Immerhin musste ich meine Argumente mehrfach wiederholen, bis sie endlich durchgedrungen waren. Und sowas ärgert mich immer.

Zitat:
Original von Anjohn
Wenn ich auf eine Mauer zufahre, ergibt sich natürlich eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

Das ist durchaus nicht "natürlich", sondern die Lösung der DGL aufgrund deiner speziellen Wahl . Bei Wahl einer anderen Beschleunigungsregel wird es i.a. keine gleichmäßig beschleunigte Bewegung sein.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@Anjohn
Die Regel hast du dir wahrscheinlich willkürlich ausgedacht, ohne zu fragen, warum. Wenn du schon vorher weißt, dass du eine konstante Beschleunigung haben willst, dann musst du dich um eine Dgl. gar nicht mehr kümmern, weil dann die Bewegung durch die Anfangs- und Endbedingung bereits eindeutig festgelegt.

In der Regel geht man aber umgekehrt vor: Man hat irgend eine technisch motivierte Forderung und stellt die zugehörige Dgl. auf. Erst danach bestimmt man daraus die Lösung, also die Art der Bewegung.

Zum Besipiel könnte man fordern, dass die Temperatur in den Bremsklötzen zeitlich konstant zunimmt o.ä.. Das entspräche einer konstanten Bremsleistung (Siehe WIKIPEDIA) und würde auf die Dgl. führen. Das ist natürlich nur ein Beispiel, wobei ich nicht weiß, ob die genannte Forderung aus technischer Sicht Sinn macht.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Oder wenn man schon bei der Struktur bleibt, kann man etwa andere Faktoren als diskutieren. Nicht alle sind da sinnvoll, z.B. knallt das Fahrzeug bei gegen die Mauer, während es bei größerem zu einem zunehmend sanfteren Abstoppen des Fahrzeuges kommt, verbunden natürlich mit einer längeren Bremsdauer usw.

Mathematisch kann man sich da vieles überlegen - was davon technisch realisierbar oder überhaupt sinnvoll ist, steht wieder auf einem anderen Blatt. Augenzwinkern
Anjohn Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ich möchte doch garnicht gleichmäßig beschleunigen. Das ergibt sich nur deswegen, weil ich nicht in der Lage bin, das Szenario mathematisch besser auszudrücken. Ich glaube egal was ich hier sage, es ist unverständlich für andere Menschen. Ich muss mal wieder mehr Mathe machen verwirrt

Die Fahrzeuge dürfen mathematisch ruhig zusammenknallen. Um die physische Fahrzeughülle liegt ein Polygon, welches wie ein Sicherheitsabstand funktioniert. Da kann ich ruhig ein paar Zentimeter reinfahren. Ich berechne jetzt in meinem Regler über die Bremsstärke, die ich brauche, um zu bremsen. Das wähle ich nach Geschmack, das ist die technische Grenze des Motors.

Wenn jetzt aber zwei Fahrzeuge mit genügend Abstand aufeinander zufahren, dann bleibt die Bremskraft doch nicht die ganze Zeit bei oder???
Ich glaube langsam ich bin bescheuert, ich weiß garnicht mehr was richtig oder falsch ist.

Ich möchte am Ende sowas wie die Länge des Schutzfeldes um das Fahrzeug ergibt sich als


Wenn die Fahrzeuge einfach solange fahren, bis ihr minimaler Bremsweg von der Entfernung zueinander überschritten wird, und dann erst bremsen, dann müssen sie doch mit bremsen oder?. Beide haben dann den gleichen Bremsweg und in der Mitte ihres Bremsweges treffen sie sich. Also müsste das Schutzfeld für die Fahrzeuge sich ergeben als


In meinem Fall findet doch vor der eigentlichen Vollbremsung auf beiden Seiten noch eine ungleichmäßig beschleunigte Bewegung statt. Mich interessiert nun am Ende, wie viel Tempo die Fahrzeuge durch das "vorausschauende" Bremsen bereits verloren haben. Sozusagen welche Geschwindigkeit weisen sie bei Distanz = 0 noch auf? Denn dann liegt noch kein physischer Zusammenstoß vor!
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte angenommen, dass du deine diversen Modelle schon mal durch numerische Simulationen der entsprechenden DGL simuliert hast? Falls nicht (dein letzter Beitrag klingt so ein wenig danach), dann wäre das doch eigentlich die naheliegende Herangehensweise bei vielen deiner Fragen. verwirrt
Anjohn Auf diesen Beitrag antworten »

Doch:





Bisher wird die Bremskraft bei mir immer nur um 10% erhöht, bis 100%. Könnte ich noch feiner einstellen...

Das Fahrzeug beginnt also bei den Anfangswerten direkt mit 50% an zu bremsen, ein anderes fährt darauf zu und macht alles genauso:

Nach 0.14 Sekunden: v=0.928 d=0.69128 a=60%

Nach 0.24 Sekunden: v=0.866 d=0.51296 a=70%

Nach 0.32 Sekunden: v=0.808 d=0.38008 a=80%

Nach 0.36 Sekunden: v=0.774 d=0.31744 a=90%

Nach 0.42 Sekunden: v=0.718 d=0.22896 a=100%

Ab hier gleichmäßig beschleunigt!

Nach 0.62 Sekunden: v=0.518 d=0 a=100%

Jetzt fahren die Fahrzeuge sich gegenseitig in die Schutzfelder. Jeder hat einen restlichen Bremsweg von 0.134162m.

Wenn man die Länge des Schutzfelds bei einer anfänglichen Bremskraft von und einer Maximalgeschwindigkeit von 1m/s auf mehr als 0.268324m einstellt, können zwei Fahrzeuge, die sich früh als Hindernisse erkennen nicht miteinander kollidieren.

Ich empfinde große Achtung vor Menschen, die sowas ausrechnen können. Ein Zusammenhang zwischen und Feldlänge wäre total krass.

Ich bin davon ausgegangen, dass ich dafür nichtlineare DGLs zweiten Grades lösen müsste...

Stimmt das? Geht das überhaupt in diesem Fall? Kann man jede nichtlineare DGL überhaupt lösen?
Ich hatte vor 2 Semestern Regelungstechnik, da hatten wir nur lineare DGLs...

In diesem Fall wollte ich ein mal in meinem Leben was cooles ausrechnen was mich interessiert und wo ich am Ende sagen kann: "Wow krass!"
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anjohn
Bisher wird die Bremskraft bei mir immer nur um 10% erhöht, bis 100%.

Das wiederum verwirrt mich: Deinen bisherigen Ausführungen hatte ich immer entnommen, dass du die Bremskraft gemäß einstellen willst (abgesehen von den zu beachtenden Grenzen und ), also NICHT nach so einem Schema, wie du es jetzt gerade erzählst. verwirrt

Ok, wie auch immer: Die Änderung der Bremskraft geschieht also nicht stetig, nicht mal annähernd, sondern in ziemlich groben Stufen. Muss man wissen, denn das ändert ja die Werte nicht unbeträchtlich.
Anjohn Auf diesen Beitrag antworten »

traurig
Ach du bist doch gemein, das kann ich in wenigen Sekunden anders einstellen.
Ich möchte es doch einfach nur ideal ausrechnen können.

Hab ich jetzt anders programmiert:
Nach 0.02 Sekunden: v=0.979795 d=0.921208 a=51.0256%

...

Nach 0.64 Sekunden: v=0.483315 d=0 a=100%

Restlicher Bremsweg: b=0.116797m

Jetzt dürfte ich das Schutzfeld kleiner machen...

Ist jetzt stetig! So stetig wie ein GNU C++ Compiler mit einem 8Byte Fließkommawert nur rechnen kann!!!
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin nicht gemein, ich versuche nur zu verstehen. Und das ist eben schwierig, wenn die Fakten so nach und nach auf den Tisch gelegt werden.

So richtig weiß ich jetzt auch nicht, was du von uns willst, scheinst doch alles im Griff zu haben. Falls du dir eine analytische Lösung der DGL für diese Art Steuerung, und bei zwei aufeinander zu fahrenden Fahrzeugen erhoffst, da sehe ich eher schwarz.
Anjohn Auf diesen Beitrag antworten »

Geht das nicht? Erstaunt2
Dann kann ich es ja vergessen. Warum?

Geht es doch aber es ist zu aufwändig?
Dann muss ich es selber machen und wir sprechen uns in ein paar Monaten wieder! Augenzwinkern

Vielleicht hast du ja einen tollen Ansatz für mich?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anjohn
Vielleicht hast du ja einen tollen Ansatz für mich?

Eben nicht, sonst hätte ich ja das hier

Zitat:
Original von René Gruber
Falls du dir eine analytische Lösung der DGL für diese Art Steuerung, und bei zwei aufeinander zu fahrenden Fahrzeugen erhoffst, da sehe ich eher schwarz.

nicht geschrieben. Kannst mir glauben, ich verschweige dir nicht die "tollen" Ansätze, ich habe leider keine zu bieten.
Anjohn Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, vielen Dank!

Vielleicht werde ich hier eines Tages eine Lösung posten! Aber das mache ich jetzt lieber nicht im Rahmen meiner Bachelorarbeit...
LOL Hammer
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@Anjohn
Wenn ich die richtig verstehe, nimmt die Bremsverzögerung in einem 1.Zeitintervall linear zu von auf , wobei . Danach bleibt die Bremsverzögerung bis zum Stillstand konstant bei (=maximale Verzögerung).

Die Dgl. für beide Zeitintervalle lautet




Die Anfangsbedingungen lauten also




Man muss noch fordern, dass die Position x(t) und die Geschwindigkeit v(t) des Autos an der "Schnittstelle" beider Zeitintervalle stetig sind, denn das Auto kann nicht springen.

Wenn das so ist, kann man daraus den Bremsweg formelmäßig berechnen, indem man beide Dgl. 2 Mal integriert und die Stammfunktionen an der Stelle stetig "zusammen setzt". Das ist aber eher Schulmathematik.
Anjohn Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, du verstehst mich nicht richtig.

Eigentlich ist das in der obigen Simulation ersichtlich (Jetzt mal mit genauen Werten):

Nach 0 Sekunden 50% Bremskraft
Nach 0.16 Sekunden 60.0319% Bremskraft
Nach 0.28 Sekunden 71.8579% Bremskraft
Nach 0.34 Sekunden 80.3715% Bremskraft
Nach 0.40 Sekunden 91.9386% Bremskraft
Nach 0.44 Sekunden 100% Bremskraft

Wie man oben sieht, sind die Zeitdifferenzen für eine 10%ige Steigerung der Bremsverzögerung ca. 0.16, 0.12, 0.06, 0.06, 0.04...
Ich bin zwar ganz schön blöd, aber soweit ich das in der Schule gelernt habe, ist das nicht linear.

Mit aufeinander Zufahren muss die Distanz zu jedem Zeitpunkt doppelt so schnell abgebaut werden.
Es gilt jeweils für ein Fahrzeug zwar , aber nicht , denn wird auch noch von einem anderen Fahrzeug reduziert.

Du kannst trotzdem gerne dafür sorgen, dass der Thread zu den Schulkindern verschoben wird. Ich habe kein Problem damit mir von denen vorrechnen zu lassen, ganz ehrlich...
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab das Anliegen von Anjohn ganz anders verstanden:

Die Position der beiden aufeinander zu fahrenden Fahrzeuge seien sowie , d.h. mit sowie als Anfangswerten.

Betrachtet wird dann das DGL-System





Die erste Betrachtung mit der feststehenden Mauer kann man da übrigens als Spezialfall begreifen, mit , was ja zweifelsohne bei obiger DGL zu für alle führt.


EDIT: Eine zufällige Überkreuzung beim Posten. Hab deinen letzten Beitrag jetzt natürlich noch nicht gelesen, Anjohn. Augenzwinkern
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@Rene Gruber
Du hast recht. Ich habe zunächst nur den Fall "Auto fährt auf Mauer" behandelt, also nur den Bremsweg für ein Auto berechnet.

@Anjohn
Mache mal mit EXCEL 'ne grafische Darstellung deiner numerischen Abhängigkeit a(t). Dann wirst du sehen, dass diese Wertepaare in guter Näherung eine Gerade ergeben. Wahrscheinlich ist diese Näherung sogar genauer als die Messung deiner Beschleunigungswerte und deshalb berechtigt.

Ich würde erst mal diesen einfachen Fall durchrechnen. Wenn diese Gerade bei allen Bremsvorgängen stets gleich ist (also unanhängig ist von der Anfangsgeschwindigkeit, vom Abstand usw.), dann kann man dein Problem damit ohne Numerik formelmäßig lösen.

Später kannst du das Modell nach Bedarf komplizierter und genauer machen. Es ist 'ne alte Physikerweisheit, dass einfache Modell oft gute Ergebnisse liefern.
Anjohn Auf diesen Beitrag antworten »

Das was mich interessierte war die Schutzfeldlänge in Abhängigkeit von Maximalgeschwindigkeit und der anfänglichen Bremsverzögerung.

Alle 20% muss dort das Schutzfeld um ca. 10cm verlängert werden wenn man immer von einer Geschwindigkeit von 1m/s ausgeht. Das habe ich in meiner Arbeit jetzt in einer Tabelle visualisiert. Angefangen bei a_rel = a_max und einem Schutzfeld von >50cm, bei a_rel = 80% folgt dann ein Schutzfeld mit l >40cm usw...

Das ist ungefähr linear, da hast du natürlich Recht Ehos.

Wie mans rechnen könnte hat mich ernsthaft interessiert und generell bin ich ein Freund von coolen Formeln.
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