Reiskörner, Poissonverteilung

13.09.2011, 16:19

_ohjemine

Reiskörner, Poissonverteilung

Hallo,

leider verzweifle ich über der Poisson-Verteilung, vielleicht auch im Allgemeinen an Verteilungen. Mir fällt es schwer zuzuordnen, welcher Parameter wie und wo berechnet wird. Im Moment versuche ich es mir anhand der Beispiele auf Wikipedia irgendwie klar zu machen: de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Verteilung#Verstreute_Reisk.C3.B6rner

Offenbar ist $\begin{eqnarray*} \lambda = 66/49 \end{eqnarray*}$ , das ist mir klar, ist sozusagen das Mittel der Reiskörner pro Platte.
Was berechnet dann aber P für k?
Nimmt man den Wert mit den 49, also der Anzahl der Platten, mal, so erhalte ich die Anzahl der Platten, welche k Reiskörner auf sich haben. Also den Anteil aller Platten mit k Reiskörnern???
Und: Spielt es eine Rolle, dass k nur von 0 bis 5 geht, wie fließt das mit in P?

Am wichtigsten aber: Gibt es irgendeine Technik, die mir sagt, wie ich eine Poisson-Verteilung anwenden kann?

Ohjemine ... unglücklich

Im Moment finde ich kein Zugang zu diesen "Verteilungen" und "Dichten" und den ganzen Kram. unglücklich

. Ich bitte um Hilfe!

Gruß

13.09.2011, 16:42

René Gruber

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Zitat:

Original von _ohjemine
Was berechnet dann aber P für k?

Du meinst $\begin{eqnarray*} P(X=k) \end{eqnarray*}$ ? Das ist bezogen auf das Reisbeispiel die Wahrscheinlichkeit, dass ein konkretes Feld genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Reiskörner enthält.

Zitat:

Original von _ohjemine
Und: Spielt es eine Rolle, dass k nur von 0 bis 5 geht, wie fließt das mit in P?

Bei der konkreten Verteilung der 66 Reiskörner hat es zufällig gerade ergeben, dass es kein Feld mit mehr als 5 Körnern gibt. Das kann bei einer erneuten Verteilung wieder anders aussehen, obgleich natürlich Felder mit deutlich mehr Reiskörnern extrem unwahrscheinlich werden.

Wenn man es genau nimmt, ist die Poissonverteilung nicht ganz passend für dieses Beispiel, es ist nämlich exakt betrachtet $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ binomialverteilt gemäß $\begin{eqnarray*} B\left( 66, \frac{1}{49} \right) \end{eqnarray*}$ Allerdings ist für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und gleichzeitig kleine $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ die Näherung $\begin{eqnarray*} B(n,p)\approx \operatorname{Poisson}(np) \end{eqnarray*}$ passend, und genau das wird hier genutzt. D.h., diese Näherung stimmt besser für 660 Reiskörner auf 490 Feldern, und noch besser für 6600 Reiskörner auf 4900 Feldern usw. ...

Zitat:

Original von _ohjemine
Am wichtigsten aber: Gibt es irgendeine Technik, die mir sagt, wie ich eine Poisson-Verteilung anwenden kann?

Dazu habe ich im letzten Absatz schon einiges gesagt: Als Näherung (bzw. für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ sogar exakt) einer Binomialverteilung $\begin{eqnarray*} B(n,p) \end{eqnarray*}$ für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bei gleichzeitig "normal großen" $\begin{eqnarray*} np=:\lambda \end{eqnarray*}$ .

13.09.2011, 18:07

_ohjemine

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Vielen Dank! smile

Also im Grunde könnte ich daraus dann folgendes Urnenmodell machen:

Ich ziehe aus 49 ( = n) Platten, mit zurücklegen, 66mal und betrachte, wie oft ( = k) ich genau eine bestimmte Platte gezogen habe. Die Platten sind "gleichverteilt" und also ist die Chance, genau eine bestimmte zu ziehen 1/49 ( = p).

Irgendwie muss ich mir die Dinger immer in Kugeln, Farben und Urnen übersetzen, dann erst macht es klick.

Im Grunde ist dann aber die Poisson-Verteilung nur relevant für ggf. numerische Verfahren oder eben im Falle n->inf?

Gruß,

ein wenig weniger ohjemine.

13.09.2011, 18:16

René Gruber

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Zitat:

Original von _ohjemine
Im Grunde ist dann aber die Poisson-Verteilung nur relevant für ggf. numerische Verfahren oder eben im Falle n->inf?

Das "nur" würde ich nicht unterschreiben, es gibt durchaus auch noch andere Zugänge. Aber was ich oben beschrieben habe, deckt schon mal einen großen Teil der Anwendungsfälle ab.

13.09.2011, 18:40

_ohjemine

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Okay, das hilft mir schon sehr. smile

Ich habe, um mir das zu verdeutlichen, einfach mal eine Aufgabe hier aus dem Forum genommen und versucht in das Binomialverteilungsgedöns zu übersetzen. Diese Aufgabe: matheboard.de/thread.php?threadid=450836

"Wenn in einer Telefonzentrale im Durchschnitt pro Stunde 10 Anrufe ankommen, wie wahrscheinlich ist es, dass in einer Stunde genau 12 Anrufe in eben jener Zentrale ankommen?"

Ich teile meine Stunde in 60 Minuten, (hier hat es schlussendlich *klick* gemacht; dazu gleich) und gehe davon aus, dass in einer Minute höchstens ein Anruf kommt. Dann ist mein Urnenmodell so aufgebaut, das sich sozusagen Minuten ziehe und entscheide, ob diese Minute eine Minute ist, in welcher ein Anruf geschieht.

Es sind 10 von 60 Minuten Anrufminuten $\begin{eqnarray*} \Rightarrow p = \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$
Ich ziehe 60mal (eben eine Stunde) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow n = 60 \end{eqnarray*}$
Ich möchte die W. für 12 "Treffer" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow k = 12 \end{eqnarray*}$

smile

Oh man, natürlich! Wenn ich jetzt das Intervall noch weiter verkleinere (Minuten -> Sekunden ->...), um sicher zu gehen, dass wirklich nur ein Anruf in diesem Abschnitt geschieht, so lande ich bei $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \inf \end{eqnarray*}$ !
Dann bin ich schon bei meiner Definition zur Poisson-Verteilung (p ist ja mit 10/n abhängig von n) und eben jenem $\begin{eqnarray*} \lambda=np \end{eqnarray*}$ .

Vielen Dank! Freude

Die Diskussion war Therapie,

Bis auf baldiges,

Tanzen

13.09.2011, 19:25

René Gruber

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Hmm, nein, die Binomialverteilungs-Argumentation würde eher in der anderen Zeitrichtung laufen:

Zitat:

Original von _ohjemine
Wenn in einer Telefonzentrale im Durchschnitt pro Stunde 10 Anrufe ankommen

Das bedeutet, dass in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Stunden ungefähr $\begin{eqnarray*} 10n \end{eqnarray*}$ Anrufe kommen - je größer $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , desto genauer stimmt dann das mit dem Durchschnitt 10 pro Stunde bezogen auf den Gesamtzeitraum von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Stunden.

Jetzt wieder wie oben: Die zufällige Anzahl Anrufe $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ pro Stunde ist dann binomialverteilt $\begin{eqnarray*} B\left( 10n, \frac{1}{n} \right) \end{eqnarray*}$ , weil man modellmäßig davon ausgeht, dass für jeden einzelnen der $\begin{eqnarray*} 10n \end{eqnarray*}$ Anrufe aus den $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Stunden die Wahrscheinlichkeit gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist, dass er in der bewussten Stunde stattfindet.

Und das ganze dann für $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$ unter Nutzung des og. $\begin{eqnarray*} B\left( 10n, \frac{1}{n} \right) \to \operatorname{Poisson}\left( 10n\cdot \frac{1}{n} \right) = \operatorname{Poisson}(10) \end{eqnarray*}$ .

Natürlich muss man nicht bei jeder solchen Aufgabe diese lange Erklärung heranziehen, das kann man auch einmal für folgende allgemeine Aussage abhandeln:

Zitat:

Bei durchschnittlich $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ Ereignissen (z.B. Anrufe) pro Zeiteinheit ist die zufällige Anzahl $\begin{eqnarray*} N_t \end{eqnarray*}$ der in einem Zeitraum von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ Zeiteinheiten beobachteten Ereignisse poissonverteilt $\begin{eqnarray*} \operatorname{Poisson}(\lambda \cdot t) \end{eqnarray*}$ .

Weiterhin kann man noch sagen, dass zwei solche Anzahlen unabhängig voneinander sind, wenn sich die zugehörigen Zeitintervalle nicht überlappen.

Näheres unter Poissonprozess, allerdings ist dieser Artikel eher für Mathematikstudenten denn für Schüler geeignet...

14.09.2011, 15:42

_ohjemine

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Zitat:

Original von René Gruber

Zitat:

Das ist genau, was ich gesucht habe! smile

Nur um der Freude willen zu diskutieren würde ich gerne meine Modellbildung verteidigen, oder viel mehr den Unterschied zu Deiner herausfinden:

Verstehe ich das richtig, dass es Dir darum geht, den eventuellen Fehler des Durchschnitts zu reduzieren, wenn Du das entsprechende Intervall dehnst? Es könnte ja eine Stunde mit 11 und eine mit 9 Anrufen geben.

Hierbei wäre dies doch die selbe Variante wie die von mir genannte, denn mit größer werdendem n unterscheidet es sich immer weniger ob 9, 10 oder 11 Anrufe, oder sagen wir "nur im Mittel" 10 Anrufe.
Eben $\begin{eqnarray*} p = \frac{10}{n} \approx \frac{11}{n} \approx \frac{9}{n} \end{eqnarray*}$ für große n.
Das wahrlich nur ein Anruf in gegebenem Abschnitt geschichet, gewährleistet n->inf ebenso.

In wie weit unterscheidet sich Dein Modell?

Gruß,

Wink

14.09.2011, 15:55

René Gruber

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Zitat:

Original von _ohjemine
In wie weit unterscheidet sich Dein Modell?

Kann ich nicht sagen, da ich nicht genau erkennen kann, welche Bedeutung n bei dir hat. In deinem vorletzten Beitrag jedenfalls hast du nur die eine Stunde unterteilt (in n=60 Minuten) und hast dann irgendwas geschlussfolgert ... aber bei dieser Art Betrachtungsweise bleibt man doch bei der einen Stunde und den 10 Anrufen "hängen", mir ist nicht klar wie man da überhaupt die Möglichkeit von 12 Anrufen in dieser Stunde ins Modell eintakten will???

Kurzum: Ich begreife nicht, was du damit bezweckst. Liegt sicher dran, dass meine Logikschaltkreise nach dem Durchlesen einiger deiner Gedanken auf Streikmodus gestellt haben. Augenzwinkern

17.09.2011, 11:57

_ohjemine

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So, war einige Tage unerwartet außer Haus, nun aber. smile

Zitat:

Im Durchschnitt kommen 10 Anrufe pro Stunde in einer Telefonzentrale an. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 12 Anrufe in einer Stunde geschehen?

Zunächst einmal mache ich daraus ein "Ziehen mit Zurücklegen". Meine "Kugeln" sind die Minuten, ich ziehe sozusagen Minuten. Es gilt:

$\begin{eqnarray*} p = \frac{10}{60} \end{eqnarray*}$ (10 von 60 Minuten sind im Schnitt Anrufminuten)
$\begin{eqnarray*} n = 60 \end{eqnarray*}$ (Ich ziehe eine volle Stunde, 60 Minuten)
$\begin{eqnarray*} k = 12 \end{eqnarray*}$ (Ich möchte 12 Anrufminuten ziehen)

Soweit der Stand (habe das mehr noch einmal für mich selbst hingeschrieben Augenzwinkern

)

Nun hat das Modell (mindestens Augenzwinkern

) zwei Probleme:

In der Realität könnte mehr als ein Anruf pro Minute geschehen
Es sind im Durchschnitt 10/60 Anrufe. In der Realität könnten es also auch mal 11/60 sein, oder 9/60.

Beide Probleme kann ich lösen, in dem ich die Unterteilung, welche im Moment in Minuten gegliedert ist, noch weiter verfeinere (also kleinere "Abschnitte"). Mache ich aus den Minuten also Sekunden, "ziehe" sozusagen "Sekunden", dann sind es 360 Sekunden, welche ich ziehe, und nach wie vor sind im Durchschnitt davon 10 Anrufsekunden dabei.
Dann gilt:

Zu 1.: Zwei Anrufe in einer Sekunde ist sehr selten, also ein besseres Modell!
Zu 2.: Der Unterschied zwischen p = 10/360 und 9/360, sowie 11/360 ist geringer als zuvor.

Nach wie vor aber gelten die beiden Probleme (1) und (2), auch wenn sie etwas entschärft wurden.
Hier kommt also die Grenzwertbildung bei meinem Ansatz ins Spiel. Unterteile ich die Stunde in ausgesprochen kleine Abschnitte, dann relativieren sich (1) und (2).

D.h. ich zerlege die Stunde in beliebig kleine Abschnitte, dies bedeutet, dass die Anzahl meiner Versuche, $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen unendlich strebt.
Hierbei bleibt aber $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gleich und immer noch sind nur 10 dieser Abschnitte im Durchschnitt Anrufabschnitte.

Zu 1.: In einem beliebig kleinen Abschnitt wird höchstens ein Anruf geschehen.
Zu 2.: Für $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gilt dann: $\begin{eqnarray*} p = \frac{10}{n} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} n \to inf \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ beliebig groß wird, ist $\begin{eqnarray*} p = 9/n = 10/n \end{eqnarray*}$ , also (2) gelöst.

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$\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist meine Anzahl der Versuche in meiner obigen Binomialverteilung. Mit $\begin{eqnarray*} p_{n}=\frac{10}{n} \end{eqnarray*}$ hängt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ab. Zudem gilt $\begin{eqnarray*} \lambda=n p_{n} = 10 \end{eqnarray*}$ .
D.h., $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to inf}B_{(n, 10/n)}(12) = P_{10}(12) \end{eqnarray*}$

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Erscheint zumindest mir plausibel. Augenzwinkern

Lieben Gruß,

Hammer

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