Vektorraum lineare unabhängigkeit

14.09.2011, 17:29

FloTU

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Vektorraum lineare unabhängigkeit

Ist die Menge $\begin{eqnarray*} M := {(i,1-i^2)} \end{eqnarray*}$ im R-Vektorraum C linear abhängig oder linear unabhängig ?

linear unabhängig bedeutet ja das sich keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen lässt. Andernfalls sind sie linear abhängig.

Ich habe hier eine Menge M dann sind $\begin{eqnarray*} M := {(i,1-i^2)} \end{eqnarray*}$ meine beiden Vektoren wenn ich das richtig sehe.

Wenn sich der Nullvektor erzeugen lässt sind sie ja linear abhängig:

$\begin{eqnarray*} a1*\begin{pmatrix} i \\ 0 \end{pmatrix}+a2* \begin{pmatrix} 0\\ 1-i^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich komme hier nicht weiter.

14.09.2011, 17:33

tigerbine

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RE: Vektorraum lineare unabhängigkeit
Warum schreibst du die Menge mit () Klammern und nicht mit {}?

Ist nicht eher gefragt, ob i und 1-i² linear unabhängig sind?

-> was ist denn 1-i²?

-> kann man also a*i + b*(1-i²)=0 nur mit a=b=0 lösen oder gibt es da noch was anders?

14.09.2011, 17:40

FloTU

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$\begin{eqnarray*} 1-i^2=2 \end{eqnarray*}$

Nein es ist danach gefragt ob die Menge linear abhängig oder unabhängig ist.

a*i+2b=0

a*i=-2b

$\begin{eqnarray*} a=-2b/i \end{eqnarray*}$

14.09.2011, 17:42

weisbrot

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Zitat:

Nein es ist danach gefragt ob die Menge linear abhängig oder unabhängig ist.

das meint das gleiche.

denk daran dass a und b reelle zahlen sind

14.09.2011, 18:05

FloTU

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für a = -2 und b = i kommt null raus. Also sind sie linear abhängig.

14.09.2011, 18:06

weisbrot

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Zitat:

denk daran dass a und b reelle zahlen sind

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14.09.2011, 18:06

tigerbine

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Zitat:

denk daran dass a und b reelle zahlen sind

14.09.2011, 18:22

FloTU

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$\begin{eqnarray*} a1*i \wedge a2(1-i^2)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a1*i \wedge a2*2 =0 \end{eqnarray*}$

GLS nur für a1=0 , a2=0 erfüllt (triviale Lösung) somit ist die Menge linear unabhängig ?

14.09.2011, 18:49

tigerbine

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a*i + b*(1-i²)=0
a*i + b*2=0

Da a,b reell => a=b=0 als einzige Möglichkeit => linear unabhängig.

14.09.2011, 21:16

FloTU

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Ist die Menge M dann auch eine Basis von C ?

14.09.2011, 21:22

tigerbine

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Welche Dimension hat der R-VR C hier?

14.09.2011, 21:28

FloTU

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Dimension ist gleich die Mächtigkeit linear unabhängiger Vektoren hier müsste das dann dim(M)=2 sein wenn ich das richtig sehe.

14.09.2011, 21:29

tigerbine

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Naja, so einfach ist es nun auch nicht.Wer sagt, dass die Dimension nicht 3 oder mehr ist?

Kann man mit unserer Menge denn den VR erzeugen? smile

smile

15.09.2011, 01:18

FloTU

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Haben wir hier nicht den R^2 mit i und R ?

Müsste es nicht möglich sein mit der Menge M diesen VR zu erzeugen weil wir einen Reellen und eine Imaginären teil haben.

Muss das mal mit dem VR verstehen hab da eine Definitionslücke ^^

15.09.2011, 01:39

tigerbine

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Ich habe nicht gesagt, dass Dimension 2 falsch ist. Aber dies

Zitat:

Original von FloTU
Dimension ist gleich die Mächtigkeit linear unabhängiger Vektoren hier müsste das dann dim(M)=2 sein wenn ich das richtig sehe.

ist nicht die richtige Begründung. Denn obwohl die 2 Vektoren der Menge M lu sind, heißt das ohne Kenntnis der Dimension noch lange nicht, dass sie eine Basis sind. Und über die Dimension des VR kann man so nur sagen, dass sie größer gleich 2 ist.

Wenn du nun begründen kannst, dass sie 2 ist, dann kannst du

Zitat:

Ist die Menge M dann auch eine Basis von C ?

auch beantworten.

15.09.2011, 15:16

FloTU

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$\begin{eqnarray*} n := |B| \in \mathbb N0 \end{eqnarray*}$

Die Dimension des R Vektorraums C ist 2 weil {1,i} eine Basis bildet.

gilt nicht auch hier:

$\begin{eqnarray*} Ax=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n-rgA \end{eqnarray*}$

15.09.2011, 17:34

tigerbine

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Ich mache ein anderes Beispiel, da du anscheinend nicht siehst, welchen Punkt in deiner Argumentation ich ankreide.

Wir nehmen den IR³ als IR-Vektorraum und die Menge M={(1,0,0) traurig

traurig

0,1,0)}.

Zitat:

Original von FloTU
Dimension ist gleich die Mächtigkeit linear unabhängiger Vektoren hier müsste das dann dim(M)=2 sein wenn ich das richtig sehe.

Eine kurze Rechnung zeigt, dass (1,0,0) und (0,1,0) linear unabhängig sind. Nach deiner Logik wäre daher die Dimension von IR³ gleich 2. Stimmt aber nicht, denn die Dimension ist 3. M ist kein Erzeugendensystem des IR³.

=> Das wollte ich zum Ausdruck bringen. smile

smile

15.09.2011, 21:30

FloTU

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Ich bin jetzt irgendwie verwirrt.

beim $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ wäre meine Menge also ein Erzeugendensystem.

Ist der R Vektorraum ein $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ in meinem Beispiel ?

15.09.2011, 21:36

tigerbine

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Nein, IR ist der Skalarkörper in beiden Beispielen.

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