Dreiecksvermessung

26.12.2006, 08:46

tim taler

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Dreiecksvermessung

Hallo ihr Lieben,

kann ich die folgende Aufgabe ebenfalls geometrisch und vektoriell lösen? Falls ja, wäre ich ertsmal für ein paar geometrische Hinweise dankbar...

Aufgabe
Von einem Dreicek ABC sind die Seiten BC=a, AC=b, AB=c vermessen worden. Vom Punkt P erscheint die Seite AC=b unter dem Winkel alpha
und die Seite BC=a unter dem Winkel beta, die ebenfalls gemessen wurden. Berechnen Sie die Entfernung des Punktes P vom Punkt C für
a=5m; b=6m; c=7m; alpha=80°; beta=130°.

verwirrt

verwirrt

Grüsse

Wink

26.12.2006, 10:13

riwe

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RE: Dreiecksvermessung
edit: habe mist gelesen, gebaut Big Laugh

Big Laugh

zeichnung neu!
welchen punkt meinst du denn verwirrt

verwirrt

werner

26.12.2006, 10:30

tim taler

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RE: Dreiecksvermessung
Hallo Werner,

leider ist mir das so noch nicht verständlich.
Könnten wir Schritt für Schritt vorgehen?
Als erstes hast Du das Dreieck gezeichnet, nehme ich an, wie aber kommt man dann auf Punkt P, muss doch über die gegebenen Winkel zu definieren sein?

Gruss

26.12.2006, 10:53

riwe

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RE: Dreiecksvermessung

Zitat:

Original von tim taler
Hallo Werner,

leider ist mir das so noch nicht verständlich.
Könnten wir Schritt für Schritt vorgehen?
Als erstes hast Du das Dreieck gezeichnet, nehme ich an, wie aber kommt man dann auf Punkt P, muss doch über die gegebenen Winkel zu definieren sein?

Gruss

entschuldige, habe eine neue skizze rein gestellt, habe falsch gelesen.
werner
konstruktiv ist es ganz einfach:
dreieck ist eh klar
dann 2mal faßkreis je einmal über b und a (da hast du mich mit den winkelbezeichnungen verwirrt), der/die schnittpunkt(e) der kreise sind die gesuchten punkte Pi (i = 1..4).
denn du kannst die kreise spiegeln an den jeweiligen seiten.
ich habe das ganze zur verbesserung der übersichtlichkeit (?) für 1 punkt gezeichnet.
werner

26.12.2006, 11:31

tim taler

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RE: Dreiecksvermessung
Ok, diese Skizze ist dafür top.
Dreieck ist klar.
Dann den Faßkreis wie folgt:

Konstruktion Faßkreis:

(1) Zeichne Sehne (AB),

(2) lege in einem Sehnenendpunkt den gewünschten Fasswinkel (gamma) an.

(3) Errichte im Scheitel (bei A) das Lot auf dem Winkelschenkel.

(4) Konstruiere die Mittelsenkrechte von (AB).

Der Schnittpunkt von Mittelsenkrechte und Lot ergibt den gesuchten Fasskreismittelpunkt (M). (siehe Bild)

Hinweis und Ergänzung: Die beschriebene Konstruktion ist grundsätzlich richtig, wenngleich der Winkel Gamma korrekt als Umfangswinkel bezeichnet werden sollte.

Beispiel

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/8/8a/Fasskreis2.png

Meine gamma wären dann 78.5°.
Somit ergibt sich der Faßkreis für AB=c.
Wie läßt sich der zweite Faßkreis Konstruieren?

26.12.2006, 11:38

riwe

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RE: Dreiecksvermessung
Freude

Freude

werner

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26.12.2006, 11:43

riwe

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RE: Dreiecksvermessung

Zitat:

Original von tim taler
Ok, diese Skizze ist dafür top.
Dreieck ist klar.
Dann den Faßkreis wie folgt:

Konstruktion Faßkreis:

(2) lege in einem Sehnenendpunkt den gewünschten Fasswinkel (gamma) an.

auf der "RICHTIGEN" seite der sehne!

Zitat:

Original von tim taler

Meine gamma wären dann 78.5°.
Somit ergibt sich der Faßkreis für AB=c.
Wie läßt sich der zweite Faßkreis Konstruieren?

verwirrt

verwirrt

das mußt du mir erklären?
deine gamma verwirrt

verwirrt

78.5°

verwirrt

was meinst du mit mit den 2. faßkreis verwirrt

verwirrt

werner

26.12.2006, 12:06

tim taler

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RE: Dreiecksvermessung
Du hast mal wieder Recht, das macht so keinen Sinn.
Habe es soeben gezeichnet und gemerkt das da etwas nicht passt.
Ich wollte anhand der wikipedia Definition den Faßkreis konstruieren aber das läßt sich wohl für dieses Beispiel nicht analog übernehmen.
Denn der Winkel gamma(=78,5) im Dreieck ABC ist nicht der Faßwinkel.
Wie kann ich diesen hier am einfachsten konstruieren?

Auf den zweiten Faßkreis bin ich gekommen weil in Deiner Skizze zwei Kreise zu sehen sind. Und der gesuchte Punkt P im Schnittpunkt derselben liegt.

26.12.2006, 15:12

riwe

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RE: Dreiecksvermessung
du zeichnest ganz analog den faßkreis mit alpha = 80° über der seite b (ROT) und mit beta=130° über der seite a (BLAU), und der schnittpunkt (anzahl s. oben) ist der gesuchte punkt P.
ok verwirrt

verwirrt

werner

26.12.2006, 15:27

tim taler

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RE: Dreiecksvermessung
Danke Werner, Freude

Freude

habe indem folgende Skizze gefunden und schon wurde es mir auch klar.

http://www.mathematik.ch/anwendungenmath...t/ortsbogen.php

Nun haben wir Punkt C graphisch dargestellt. Wie ermittele ich mir nun den Abstand zwischen C und P?

26.12.2006, 15:41

riwe

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RE: Dreiecksvermessung
wenn du C und P hast, mußt du messen. Big Laugh

Big Laugh

werner

26.12.2006, 15:47

tim taler

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RE: Dreiecksvermessung
Mein Lieber Werner ich wäre Dir für eine rechnerische Lösung doch sehr dankbar Augenzwinkern

Augenzwinkern

!

26.12.2006, 17:05

riwe

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RE: Dreiecksvermessung
aber nur im abgekürzten verfahren, das ist nämlich eine endlose rechnerei.
der weg ist derselbe:
damit es ein bißerl einfacher wird, habe ich das dreieck etwas anders gewählt.
1) dreieckspunkte berechnen
A(0/0), C(6/0) und daraus B als schnittpunkt der beiden kreise um A und C mit radius b und a: $\begin{eqnarray*} B(6/-2\sqrt{6}) \end{eqnarray*}$
nun mittelpunkt und radius der beiden faßkreise berechnen.
die mittelpunkte bekommst du als schnittpunkt der mittelsenkrechten und der geraden durch einen eckpunkt mit dem entsprechenden anstieg
(s. deine konstruktionsanleitung zum faßkreis).
das überlasse ich zunächst dir, wenns gar nicht geht, biite nachfragen.
das ergibt
$\begin{eqnarray*} K_1: (x-7.5554)^{2}+(y+2.8690)^{2}=10.6507 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K_2: (x-3)^{2}+(y+0.5290)^{2}=9.2798 \end{eqnarray*}$
der schnittpunkt P hat dann die koordinaten P(4,3179/ -3.2759) und sein abstand zu C beträgt
d = 3.6826.
und das ist einer von 4 punkten. Big Laugh

Big Laugh

werner

26.12.2006, 18:41

tim taler

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RE: Dreiecksvermessung
Hi Werner,

[/QUOTE]
1) dreieckspunkte berechnen
A(0/0), C(6/0) und daraus B als schnittpunkt der beiden kreise um A und C mit radius b und a:

Das ist ein wenig unverständlich zumal B nicht Schnittpunkt zweier Kreise ist. Nun gut ich habe nun die Koordinaten von B berechnet und komme dabei auf genau
B(5.00130876/-4.89764338)
Habe hierzu einfach Norden in die x-Achse gelegt, dabei ergibt sich zwischen der x-Achse(also Nord) und der Strecke AC(siehe letzte Skizze) ein Richtungswinkel von 90°(da die Strecke unmittelbar über die y-Achse verläuft).
Zwischen den beiden Strecken AC und AB liegen nochmal 44,4°, somit ergibt sich ein Richtungswinkel von 90°+44,4°=134,4°.
Nun haben wir die Koordinaten von A, die Strecke AB und den dazu gehörigen Richtungswinkel und können und damit nach der 1. geodätischen Grundaufgabe die Koordinaten von B bestimmen.

Aber wie komme ich nun am geschicktesten auf die Koordinaten der Mittelpunkte?
[QUOTE]nun mittelpunkt und radius der beiden faßkreise berechnen.
die mittelpunkte bekommst du als schnittpunkt der mittelsenkrechten und der geraden durch einen eckpunkt mit dem entsprechenden anstieg

Wie sieht das rechnerisch aus? Muss ich dafür Geradengleichnungen aufstellen? verwirrt

verwirrt

26.12.2006, 19:16

riwe

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RE: Dreiecksvermessung

Zitat:

Original von tim taler
Hi Werner,

1) dreieckspunkte berechnen
A(0/0), C(6/0) und daraus B als schnittpunkt der beiden kreise um A und C mit radius b und a:

Das ist ein wenig unverständlich zumal B nicht Schnittpunkt zweier Kreise ist. ?

ECHT

verwirrt

verwirrt

verwirrt

kannst du mir DIESES staement erklären!
wie konstruierst du denn ein dreieck, bei dem 3 seiten gegeben sind.

daher interessiert mich deine berechnungsmethode eher weniger, und die x-koordinate von B ist EXAKT 5.0000000000000000000

wieso weißt du eigentlich nachher immer alles besser?
und tanzt du nicht auf ein bißchen viel hochzeiten, wenn ich die menge deiner gleichzeitigen beiträge hier im board betrachte?
erledige doch einmal EINE aufgabe! und dann die nächste unglücklich

unglücklich

also bitte noch einmal: wieso ist B nicht schnittpunkt der von mir oben zitierten kreise verwirrt

verwirrt

als meine fantasie mit mir durchging - vor deiner information - hatte ich:
x² + y² = 49
(x - 6)² + y² = 25
=> x = 5.0000000000000000000000000000

werner

26.12.2006, 19:40

tim taler

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RE: Dreiecksvermessung
Ach Werner,

nun weiß ich auch was Du meinst. Sehe die ganze Zeit die beiden Fasskreise vor mir und deren Schnittpunkt ist P, von daher habe ich die Argumentation Deine nicht direkt verstanden, entschuldige.
Mit meiner Rechenmethode wollte ich hier auch nichts besser wissen sondern einfach eine weitere Möglichkeit darstellen (es gibt hier ja auch noch andere interessierte Leser) und mich zugleich vergewissern ob es stimmt und siehe da, mein Ergebnis war nichtmal richtig, wie könnte es mir da zustehen etwas besser wissen zu wollen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wäre super wenn wir nun mit den beiden Gleichungen weitermachen könnten. Wie entstehen diese?

26.12.2006, 21:30

riwe

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RE: Dreiecksvermessung
mußt halt ein bißerl genauer lesen Big Laugh

Big Laugh

aber im ernst: konzentriere dich auf eine aufgabe nach der anderen.
na egal, darfst mich nicht allzu ernst nehmen unglücklich

unglücklich

also zurück zur aufgabe!

text von oben
damit es ein bißerl einfacher wird, habe ich das dreieck etwas anders gewählt.
1) dreieckspunkte berechnen
A(0/0), C(6/0) und daraus B als schnittpunkt der beiden kreise um A und C mit radius b und a: $\begin{eqnarray*} B(6/-2\sqrt{6}) \end{eqnarray*}$
nun mittelpunkt und radius der beiden faßkreise berechnen.
die mittelpunkte bekommst du als schnittpunkt der mittelsenkrechten und der geraden durch einen eckpunkt mit dem entsprechenden anstieg
(s. deine konstruktionsanleitung zum faßkreis).
das überlasse ich zunächst dir, wenns gar nicht geht, biite nachfragen.
das ergibt
$\begin{eqnarray*} K_1: (x-7.5554)^{2}+(y+2.8690)^{2}=10.6507 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K_2: (x-3)^{2}+(y+0.5290)^{2}=9.2798 \end{eqnarray*}$
der schnittpunkt P hat dann die koordinaten
$\begin{eqnarray*} P(4,3179/ -3.2759) \end{eqnarray*}$
und sein abstand zu C beträgt
$\begin{eqnarray*} d = 3.6826 \end{eqnarray*}$
und das ist einer von 4 punkten. Big Laugh

Big Laugh

zunächst K1, der ist einfacher
den mittelpunkt einer strecke bekommst du, indem du die koordinaten der eckpunkte addierst und durch 2 dividierst, daher
$\begin{eqnarray*} S_1(3/0) \end{eqnarray*}$ , damit haben alle punkte auf der mittelsenkrechten von b = AC die x-koordinate x = 3.
nun geht es an die "faßgerade": die geht durch O(0/0) und wir kennen ihren anstieg wegen
$\begin{eqnarray*} \beta = 80° \to m = tan(180-(90-80))=-0.1763 \end{eqnarray*}$ .
daher hat M1 die koordinaten
$\begin{eqnarray*} M_1(3/-0.5290) \end{eqnarray*}$ .
ich beziehe mich immer auf meine skizze, die ich daher hier noch einmal anhänge.
$\begin{eqnarray*} r_1=\sqrt{m_x^{2}+m_y^{2}}=3.0463 \end{eqnarray*}$

nun zu K2:
den seitenmittelpunkt bekommst du wie oben zu $\begin{eqnarray*} S_2(5.5/-\sqrt{6}) \end{eqnarray*}$
der anstieg von BC beträgt $\begin{eqnarray*} m = 2\sqrt{6} \end{eqnarray*}$ und der der mittelsenkrechten ist daher $\begin{eqnarray*} m_s=-\frac{1}{2\sqrt{6}} \end{eqnarray*}$
die geradengleichung lautet daher
$\begin{eqnarray*} g: y + \sqrt{6}=-\frac{1}{2\sqrt{6}}(x-5.5) \end{eqnarray*}$
nun die faßgerade:
deren anstieg beträgt, wenn du die skizze genau anschaust, und sonst natürlich auch:
$\begin{eqnarray*} m=tan(arctan(2\sqrt{6})+abs(90 -\beta))=-1.8446 \end{eqnarray*}$
damit heißt die "fassgerade 2"
$\begin{eqnarray*} f: y= -1.8446(x-6) \end{eqnarray*}$
f geschnitten mit g liefert
$\begin{eqnarray*} M_2(7.5554/-2.8690) \end{eqnarray*}$ und mit der distanzformel $\begin{eqnarray*} r_2=3.2635 \end{eqnarray*}$
und nun die beiden kreise schneiden siehe oben.

ich habe das zeugs mit mitteln der analytischen geometrie erledigt, da ich vektorrechnung nur dann verwende, wenn es sinnvoll ist,
sonst erweist man diesem tollen rüstzeug nicht die nötige referenz Big Laugh

Big Laugh

werner

27.12.2006, 08:40

tim taler

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RE: Dreiecksvermessung
Morgen Werner,

ok dann machen wir das mal fertig.

zu K1:
wir kennen einen Punkt der Geraden A= O(0/0) soweit kann ich folgen wieso aber komme ich auf beta= 80 ?
Die Gleichung einer Gerade lautet --> y=mx+n
Den Anstieg habe ich bisher nur aus 2 Koordinaten berechnet...
Hier haben wir bloß eine Koordinate nämlich den Ursprung O und die Steigung von 80°. Wie komme ich denn mit diesen Angaben zu Deiner Formel --> m= tan(180-(90-80)).
Beide dieser Aufgabe kommt ja alles zusammen, oh Gott.

27.12.2006, 10:50

riwe

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RE: Dreiecksvermessung
K1:
der anstieg einer geraden ist definiert als der tangens des winkels, den sie mit der positiven x-achse GEGEN den uhrzeigersinn einschließt. das kannst du nätürlich mit 2 punkten berechnen, wenn du denn 2 hast Big Laugh

Big Laugh

du kannst den tangens aber KLARERWEISE auch direkt aus diesem winkel berechnen, wenn du den winkel kennst. und das ist hier der fall, beta oder alpha, deine bezeichnungen sind sehr kontraproduktiv, also phi = 80° ist der winkel, unter dem man die seite AC sieht, und wenn du dir die skizze und auch die konstruktion des faßkreises anschaust. sollte das doch klar sein:
man trägt (auf der richtigen seite) den winkel (90 - phi) Big Laugh

Big Laugh

ab und schneidet mit der mittelsenkrechten. und wieder mit verweis auf meine skizze, das ist der winkel
IM uhrzeigersinn, daher berechnet sich der gesuchte anstieg aus dem komplementärwinkel:
m = tan( 180 -(90 - phi)).
und das solltest du eigentlich wissen: bei der allgemeinen form der geradengleichung y = mx + n gibt n den y-achsenabschnitt an, also die y-koordinate des punktes, in dem die gerade die y-achse schneidet Q(0/n).
da die gerade durch O(0/0) geht ist n = 0.
soweit alles klar verwirrt

verwirrt

wie du siehst ist diese aufgabe bei weitem leichter konstruktiv zu lösen denn rechnerisch Big Laugh

Big Laugh

werner

27.12.2006, 12:26

tim taler

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RE: Dreiecksvermessung
zu K1:
Ich verstehe, der Winkel phi=80° ist laut Definition des Fasskreises der Winkel am Punkt P, da jeder Punkt auf diesem Faßkreis(K1) der Strecke AC laut Aufgabenstellung und Definition 80° betragen muss.
Zu den Bezeichnungen aus der Aufgabenstellung.
hier:
K1--> alpha = phi1 = 80°
K2--> beta = phi2 =130°
(Wir wollen ja produktiv bleiben) Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nun tragen wir den Winkel von 10°(=90-phi) ab.
IM UHRZEIGERSINN! ok!
Nun liegt unser Winkel im 4.Quadranten und dies führt zum Komplementärwinkel bei der Berechnung des Anstieges m.

Nun kommen wir zu M(K1). Die x-Koordinate xM=3 ,soweit klar.
Die y-Koordinate ergibt sich aus y=m*x (-0.1763*3) --> yM=(-0.5290)
Nun Haben wir die Koordinaten von M(xM,yM) bestimmt.
Anschliessend den Radius nach der zuvor genannten Formel.

Wenns soweit stimmt, wäre K1 geklärt.
TOP, Danke Werner!

zu K2)

wie komme ich am unspektakulärsten auf die Koordinaten von von s2=[5.5,-Wurzel(6)]?

27.12.2006, 15:05

riwe

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RE: Dreiecksvermessung
Freude

Freude

bist zeitweise ganz schön keck unglücklich

unglücklich

, timtaler!
auch hier noch einmal: LESEN, LESEN, LESEN Big Laugh

Big Laugh

steht eh oben
$\begin{eqnarray*} S_2=\frac{1}{2}(B+C)\to S_2(\frac{5+6}{2}/\frac{-2\sqrt{6}}{2}) \end{eqnarray*}$
ok verwirrt

verwirrt

dann weiter im text Big Laugh

Big Laugh

werner

27.12.2006, 15:51

tim taler

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RE: Dreiecksvermessung
Ok es hat nun geklickt.
B war ja(5/-2*Wurzel(6)) alles klar.
Jetzt aber mal noch kurz zu B werner, denn das hatten wir gestern nicht mehr geklärt...
Wie bist Du denn anhand von A und C und den Radien(die den Seiten entsprechen) auf B gekommen, mein B war ja nicht direkt identisch,wenn Du Dich erinnerst.

zu K2)

s2 haben wir nun.
Wie kann ich jetzt den Anstieg von BC bestimmen?

27.12.2006, 16:08

riwe

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RE: Dreiecksvermessung
auch auf die gefahr hin, dass ich mich wiederhole, du bist ja ziemlich bockig (österreichisch für widerspenstig, stur, eigenwillig, -sinnig):
LESEN, LESEN, LESEN
das steht hier, letzter beitrag von mir auf dieser seite, die letzten 3 (drei) zeilen Big Laugh

Big Laugh

wie berechnet man den anstieg BC: siehe deinen beitrag oben, da hast du es ja selbst hingemalt, zitat tim taler: "den anstieg habe ich bisher nur aus 2 koordinaten berechnet....." verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} m=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \end{eqnarray*}$
also die werte für B und C einsetzen
waiting for your next surprising question.... unglücklich

unglücklich

werner

27.12.2006, 17:16

tim taler

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RE: Dreiecksvermessung
Mach Dich nur lustig ... smile

smile

steigung m ok
mittelsenkrechte somit ms=-1/m, kann ich das immer so machen wenn ich eine Gerade hab und eine andere senkrecht dazu steht?

Habe doch die Gleichungen gelesen, eingesetzt und B erhalten, aber wie komme ich drauf?
xhoch2+yhoch2=49
(x-6)hoch2 +yhoch2=25 ??? Wieso?

27.12.2006, 19:38

riwe

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RE: Dreiecksvermessung

Zitat:

Original von tim taler
Mach Dich nur lustig ... smile

smile

ein bißerl spaß mußt du mir auch lassen unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von tim taler
steigung m ok
mittelsenkrechte somit ms=-1/m, kann ich das immer so machen wenn ich eine Gerade hab und eine andere senkrecht dazu steht?

Freude

JA, das ist die bedingung, dass die beiden geraden (strecken) aufeinander senkrecht stehen.

Zitat:

Original von tim taler
Habe doch die Gleichungen gelesen, eingesetzt und B erhalten, aber wie komme ich drauf?
xhoch2+yhoch2=49
(x-6)hoch2 +yhoch2=25 ??? Wieso?

hast du in der schule nicht aufgepaßt verwirrt

verwirrt

die kreisgleichung um den mittelpunkt M(m/n) mit radius r lautet:
$\begin{eqnarray*} (x-m)^{2}+(y-n)^{2}=r^{2} \end{eqnarray*}$
K1: mittelpunkt ist der punkt A = O(0/0) und radius r = c = 7
K2: mittelpunkt ist B(6/0) und radius r = a = 5
alles paletti verwirrt

verwirrt

werner

27.12.2006, 20:11

tim taler

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RE: Dreiecksvermessung
In der Schule...
Mein lieber Werner in der Schule war ich noch nicht so interessiert daran gute Leistungen zu bringen und für ne 3 hats in Mathe immer gereicht. Hatte damals auch nicht so den Bezug dazu.
Es ist aber sehr nett von Dir, daß Du mir so geduldig geholfen hast. Bei dieser Aufgabe kam fast alles zusammen was ich dringend wiederholen wollte... Von daher kann ich mich nur bedanken das Du durchgehalten hast Freude

Freude

Soweit ist alle Paletti. Heute schlafe ich sicher besser Tanzen

Tanzen

Morgen früh werde ich mal meine ganzen Zettel und Skizzen nehmen und alles ins Reine bringen. Anschliessend erstelle ich ein Text-File in welchem man dann die Variablen a,b,c sowie phi1,phi2 von einem bestimmten Punkt P eingeben kann und man die Abstände von P zu allen Punkten des Dreiecks als Ergenis bekommt, wenn mir das gelingt ist nicht nur mein Taschenrechner fit sondern ich wohl auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruss

27.12.2006, 22:13

riwe

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RE: Dreiecksvermessung
dann viel spaß und teile mir/uns das ergebnis deiner mühen mit Freude

Freude

und vergiß nicht, es gibt (bis zu) 4 punkte Big Laugh

Big Laugh

werner

und eine frage: was wäre mit registrierung hier im board?

29.12.2006, 11:24

tim taler

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RE: Dreiecksvermessung
Hi Werner,

wie kann man das mit den 4 Punkten und somit 4 mögliche Lösungen erklären?

Soweit bin ich mit den Berechnungen und dem Text-File bis kurz vors Ende gekommen. Wäre toll wenn Du mir noch erläutern könntest wie sich die Geradengleichung bei K2
-> g: y+Wurzel(6) = -1/(2*Wurzel(6))(x-5.5) zusammensetzt. Das heißt wie komme ich vom Anstieg BC und vom Anstieg der Mittelsenkrechten auf diese Geradengleichung g?

Dann berechnest Du den Anstieg der Faßgerade zu m=tan(arctan(2*Wurzel(6)) + abs(90-phi2) = -1.8446, aber wie kommst Du genau darauf.Wie ensteht daraus die 2.Geradengleichung f?

Nun folgt der Geradenschnittpunkt, den ich bisher auch nur mit 4 Koordinaten gerechnet habe. Wie hast Du ihn aus f und g berechnet?
Und zu guter letzt, wo finde ich die Distanzformel? Habe nur eine für vektorielle Berechnung gefunden...

Viele Grüsse

29.12.2006, 12:45

riwe

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RE: Dreiecksvermessung
viele fragen auf einmal!

1) 4 punkte: du kannst die strecke von innen und von außen unter dem gewählten winkel betrachten, daher gibt es pro strecke 2 faßkreise, als $\begin{eqnarray*} K_{11} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K_{12} \end{eqnarray*}$ für die strecke b und $\begin{eqnarray*} K_{21} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K_{22} \end{eqnarray*}$ für a.
und das sind maximal 4 verschiedene schnittpunkte $\begin{eqnarray*} P_i \end{eqnarray*}$ mit i = 1...4.
und um deiner frage vorzubeugen Big Laugh

Big Laugh

. die 2 fehlenden mittelpunkte bekommst du durch punktspiegelung an der jeweiligen seite. und da ist die vektorrechnung das mittel der wahl!
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OM_{12}}=\overrightarrow{OS_1}+\overrightarrow{M_{11}S_1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OM_{22}}=\overrightarrow{OS_2}+\overrightarrow{M_{21}S_2} \end{eqnarray*}$
jetzt die entsprechenden werte einsetzen und schon hast du die koordinaten der fehlenden mittepunkte, die radien bleiben natürlich gleich.

2) distanzformel ist wie sie ist unglücklich

unglücklich

der abstand von 2 punkten $\begin{eqnarray*} P_1(x_1/y_1/z_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_2(x_2/y_2/z_2) \end{eqnarray*}$ beträgt
$\begin{eqnarray*} d=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} \end{eqnarray*}$
entsprechend dem betrag des vektors $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{P_1P_2} \end{eqnarray*}$

3) geradengleichung.
da kramte ich in meinem langzeitgedächtnis und fand in hirnablagefach "analytische geometrie 7. klasse, ca. 1958" die "punktsteigungsform" Big Laugh

Big Laugh

.
man lege durch den punkt $\begin{eqnarray*} P_1(x_1/y_1) \end{eqnarray*}$ eine gerade g mit der steigung m:
$\begin{eqnarray*} y -y_1=m(x-x_1). \end{eqnarray*}$
das kannst du selbstvernatürlich auch aus der gleichung y = mx + n durch einsetzen von P und m ableiten.

4) den (möglichen) schnittpunkt von 2 geraden bekommst du, indem du sie einfach gleichsetzt.
$\begin{eqnarray*} g: y = m_1x + n_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h: y = m_2x + n_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S: m_1x+n_1=m_2x+n_2 \to x_s =\frac{n_2-n_1}{m_1-m_2} \end{eqnarray*}$
der rest folgt später, da muß ich mir den ganzen ... erst hier im board wieder zusammensuchen. ich sitze nämlich zur zeit in meinem wochenendhäuschen und muß den wein für silvester vorkosten.
also bitte um etwas geduld
werner

29.12.2006, 14:20

riwe

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RE: Dreiecksvermessung
2.teil:
gesucht ist der winkel $\begin{eqnarray*} \angle{FCH} \end{eqnarray*}$ , dessen tangens der anstieg der fassgeraden h ist.

$\begin{eqnarray*} \angle{FCH}=180-\angle{HCI} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \angle{HCI}=\angle{ECF} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \angle{ECF}=180-(\angle{DCE}+\angle{FCG}) \end{eqnarray*}$

faßwinkel (rot): $\begin{eqnarray*} \angle{DCE}=\mid (90-\phi)\mid \end{eqnarray*}$
anstieg der geraden g sei m, den berechnest du aus den 2 punkten B und C zu $\begin{eqnarray*} m=2\sqrt{6} \end{eqnarray*}$ , das hatten wir schon oben.
damit hast du
$\begin{eqnarray*} \angle{FCG}=arctan(m) \end{eqnarray*}$

alles zusammenfassen, potz blitz und fertig Big Laugh

Big Laugh

werner

29.12.2006, 20:23

tim taler

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RE: Dreiecksvermessung
Ok erst mal Schritt zwei der uns zum Anstieg führt.
Wenn ich alles(die Skizze ist ganz toll) verstanden habe, ergibt sich für:

gamma -->78,5°= CDI
somit auch:
FCG --> 78,5°

Faßwinkel DCE --> abs(90°-130°) =40°
somit auch:
CGH-->40°
daraus ergibt sich:
ECF=180° - (DCE+FCG) = 180° - (40°+78,5°)=61,5°
somit auch :
HCI-->61,5°

FCH=180° - HCI = 180° - 61,5° = 118,5°
analog:
FCH=FCG + CGH = 78,5° + 40° = 118,5°

anstieg mh der fassgeraden h:

Variante (1):
mh=tan(FCH)= tan(118,5°) = -1.8417708860
das exakte Ergebnis lautet jedoch:
mh= -1.8446074232841
der Unterschied der Nachkommastellen erklärt sich damit, das für CDI ein Wert gerundeter von 78,5° gewählt wurde um das Beispiel überschaubar zu halten.

Variante 2:
analog über die Formel:
mh=tan(arctan(ms)) + abs(90-phi2)) = -1.8446074232841

anstieg der geraden g:

Variante (1):
mg=tan(FCG)= tan(78.4630409672°) =-1/(2*Wurzel(6)) =-4.8989794856

Variante (2):[mit ms2= 2*Wurzel(6)]
mg=-1/ms --> Bedingung, da senkrecht zueinander = -1/(2*Wurzel(6))

Nun haben wir die Anstiege und wagen uns an die Geradengleichung:

da machen wir später weiter. Essenszeit!
Wünsche Dir noch einen schönen und schau nich so tieg ins Glaserl!
Gruss

29.12.2006, 20:52

riwe

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RE: Dreiecksvermessung
mit einigen einschränkungen ok.
zunächst der winkel $\begin{eqnarray*} \gamma =\angle{ICD} \end{eqnarray*}$ und nicht CDI, der scheitel steht in der MITTE!
und es ist (eigentlich) umgekehrt: bekannt ist
$\begin{eqnarray*} m = tan(\angle{FCD})=2\sqrt{6} \end{eqnarray*}$
natürlich sind die beiden winkel gleich, und du kannst $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ auch über das gegebene dreieck berechnen, aber wozu die mühe.
der rest ist Freude

Freude

mahlzeit
werner

(ich nehme mir zwischen 2 gläsern die zeit zu "unterschreiben" Big Laugh

Big Laugh

30.12.2006, 10:40

tim taler

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RE: Dreiecksvermessung
Morgen Werner,

gut geschlafen? Big Laugh

Big Laugh

Gut soweit die Anstiege
mh=-1.8446074232841
mg=-0.2041241452 bzw. =-1/(2*Wurzel(6))

Nun die Geradengleichung:--> PUNKTSTEIGUNGSFORM
Wir kennen den Anstieg von mh und wissen das die Gerade durch S2(5.5/-Wurzel(6)) geht, daraus entseht:
y-y1=m(x-x1) -->allgemein
y-(-Wurzel(6))= -1/(2*Wurzel(6))*(x-5.5)

analog mg:
geht durch C(6/0), Steigung ebenfalls bekannt
y-0=-1.8446074232841*(x-6)

Nun haben wir auch noch die beiden Geradengleichungen und gehen somit zum Geradenschnitt über...
Gleichung der Geraden: y = mx + n
xs= (n2-n1)/(m1-m2)
mit
n1= -Wurzel(6) - 1/2*Wurzel(6) * -5.5
n2= 0 - (-1.8446074232841) * 6
m1= -1/2*Wurzel(6)
m2= (-1.8446074232841)

xs= (n2-n1)/(m1-m2) = 7.5553659397
ys= (m1*n2-M2*n1)/(m1-m2) = -2.8690395584
soweit die Koordinaten des zweiten Kreismittelpunkts K2.

Den dazugehörigen Radius r2 über die DISTANZFORMEL
r2= 3.2635182233

So entstehen die beiden Kreisgleichungen:
K1= (x-3)hoch2 + (y+0.5290)hoch2 =9.2798
K2= (x-7.5554)hoch2 + (y+2.8690)hoch2 =10.6507

Wobei die Werte hinterm Gleicheitszeichen den Radius hoch2 darstellen.
Nun ergeben sich 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten welche mir die x- und y- Komponente des Punktes P liefern.
Den Abstand nach der Distanzformel.

Somit wäre nun ein Punkt komplett erläutert und ich versuche nun mal alles in Variablenschreibweise zu bringen.
Hab ja richtig was gelernt von Dir, Werner. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie läufts im Wochenendhaus? Hast Du eines an einem See?

Viele Grüsse

30.12.2006, 10:47

tigerbine

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RE: Dreiecksvermessung
Moin tim. Will mich gar nicht groß in die Männerrunde einmischen, aber wäre es nicht Zeit sich mal am Formeleditor zu versuchen?

wurzel = \sqrt
tiefstellung _{...}
hochstellung ^{...}
brüche \frac{zähler}{nenner}

und alles in [latex] klammern

gruss Wink

Wink

30.12.2006, 11:19

riwe

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RE: Dreiecksvermessung
soweit ich es sehen kann - ohne latex - paßt es!
und wo tigerbiene recht hat, hat sie recht: latexcode wäre ein hit Big Laugh

Big Laugh

und registrieren auch Big Laugh

Big Laugh

nix see, gott sei dank, da war und ist mir viel zu viel radau!
schön in der einschicht und groß genug, da liebe ich alle nachbarn, denn sie sind weit genug weg Big Laugh

Big Laugh

einen guten rutsch, zurück zum wein
werner

30.12.2006, 11:31

tim taler

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RE: Dreiecksvermessung
Ja ihr beiden, werde es mir schnellstmöglich angeignen. Freude

Freude

Ist so auch viel zu umständlich.
Ansonsten mache ich mich dann mal an den Text-File und wünsche euch auch einen guten Rutsch ins neue Jahr.

@werner:
Menschen sind im allgemeinen eben stressig, da ist es nur richtig sich in seiner Freizeit zurück zu ziehen. Wünsche Dir viel Freude bei den verschiedenen Durchgängen der Weinverkostung.
Doch Werner Lehrer

Lehrer

Nicht das Du da auf komische Gedanken kommst...
Der letzte Österreicher der gern in Berghäusern mit Top Einsicht verweilte steht ja heute in allen Geschichtsbüchern Hammer

Hammer

Im Ernst ganz Viel Spass und hoch die Tassen bzw. Gläser Prost

Prost

!!!

30.12.2006, 11:35

tigerbine

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RE: Dreiecksvermessung
Von mir auch einen guten Rutsch.

@Werner: Ich beneide dich ganz ehrlich um das Weinhäuschen. Ruhe vor den Nachbarn ist unbezahlbar!

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