Frage Tensorprodukt

15.09.2011, 21:59

_Kevin_

Frage Tensorprodukt

Hallo,

hätte eine Frage zum Tensorprodukt. Und zwar habe ich in meiner VL-Mitschrift folgendes stehen:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}^n \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{R} = \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist jetzt, ob die Gleichheit wirklich gilt, oder ob nur gilt:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}^n \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{R} \stackrel{\sim}{=} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$

Kann mir ersteres nicht wirklich vorstellen, denn:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}^n = \{ \sum_{i=1}^{n} q_i e_i | q_i \in \mathbb{Q} \} \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} q_ie_i \otimes x \end{eqnarray*}$ mit einem reellen x ein Element aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}^n \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt doch folgendes:

$\begin{eqnarray*} q_ie_i \otimes x = q_i(e_i \otimes x) = e_i \otimes q_ix \end{eqnarray*}$

Aber das sind ja keine Elemente aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ?! Habe ich nur einen Denkfehler? Wäre sehr nett von euch, wenn ihr mir helfen könntet!!! Danke im Voraus Freude

15.09.2011, 22:05

jester.

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Gemeint ist natürlich, dass diese Räume isomorph sind. Wenn man nachlässig ist, schreibt man auch einfach schonmal "=", denn die Isomorphie ist die Gleichheit der Algebra. Augenzwinkern

15.09.2011, 22:11

_Kevin_

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Alles klar, dankeschön... smile

Saß noch nicht in der "echten" Algebra. Big Laugh

Schreibe demnächst Lineare Algebra II Klausur und muss das daher wissen... was könnte man denn zum Tensorprodukt für Fragen stellen? Auf dem Übungsblatt hatten wir nur symmetrische Tensoren, das Blatt war aber eigentlich nicht so schwer...

Gruß und Danke im Voraus für alle Antworten

15.09.2011, 22:23

jester.

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Als ich damals LAII geschrieben habe, gab es in der Klausur die folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein kommutativer Ring und $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ -Modul. Zeige $\begin{eqnarray*} R\otimes _R M \cong M \end{eqnarray*}$ .

In der Nachholklausur gab es dann noch die Aufgabe: für einen kommutativen Ring $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ -Moduln $\begin{eqnarray*} M, ~ N \end{eqnarray*}$ zeige $\begin{eqnarray*} M\otimes _R N \cong N \otimes _R M \end{eqnarray*}$ .

Ansonsten fällt mir spontan noch $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \otimes _{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/{\rm ggT}(m,n)\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ein (m, n zwei natürliche Zahlen).

15.09.2011, 22:40

_Kevin_

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Wow, danke!!! Freude

Ich hab mich mal an der ersten Aufgabe versucht... Wir haben zwar das Tensorprodukt nur über Körper definiert und Moduln haben wir auch nicht definiert, aber das ist denke ich hier nicht so wichtig...

Mein Ansatz:

Sei $\begin{eqnarray*} m \in M, r \in R \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow m = \sum_{i=1}^{n} a_i e_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_i \in R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r \otimes a_i e_i = a_i (r \otimes e_i) = a_i r \otimes e_i \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass jedes Melement aus $\begin{eqnarray*} R \otimes_R M \end{eqnarray*}$ äquivalent zu einem Element der Form $\begin{eqnarray*} b_i \otimes \sum_{i=1}^{n} \end{eqnarray*}$ ist... b_i ist auch eindeutig bestimmt, da die Koeffizienten von m eindeutig bestimmt sind.

Ich habe aber hier verwendet, dass M endlichdimensional ist. Keine Ahnung, ob das so passt...

Brauchst auch nicht drüberschauen, wenns dir zu sehr auf die Zeit geht... du hast mir sowieso schon genug geholfen... dafür noch mal ein dickes DANKE! Freude

15.09.2011, 22:57

jester.

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Du hast Recht, die ganze Argumentation baut darauf auf, dass wir einen endlichdimensionalen Vektorraum (bzw. einen freien Modul endlichen Rangs) haben. Die ersten zwei Aussagen sind aber für alle Moduln über allen kommutativen Ringen richtig.
Aber das ist im Moment nicht so interessant, wenn du keine Moduln kennst.

Zitat:

Daraus folgt, dass jedes Melement aus $\begin{eqnarray*} R \otimes_R M \end{eqnarray*}$ äquivalent zu einem Element der Form $\begin{eqnarray*} b_i \otimes \sum_{i=1}^{n} \end{eqnarray*}$ ist...

Diese Folgerung kann ich so nicht nachvollziehen. Was ist $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ und warum folgt aus der Rechnung davor, dass es irgendeine bestimmte Darstellung gibt?
Was bezweckst du mit der Rechnung und dieser Darstellung?
Im Kontext $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ Körper und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ endlichdimensionaler Vektorraum fallen mir zwei mögliche Lösungswege ein:
1) Für zwei endlichdimensionale Vektorräume $\begin{eqnarray*} V, ~W \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist dir bekannt, dass $\begin{eqnarray*} \dim(V\otimes _K W)=\dim_K(V)\cdot \dim_K(W) \end{eqnarray*}$ . Dann ist alles klar.
2) Man gibt einen (sich aufdrängenden) Isomorphismus von $\begin{eqnarray*} K\otimes V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ an.

Zusatzfrage: Habt ihr das Tensorprodult denn nicht über seine universellen Eigenschaften definiert? Genau damit bekommt man nämlich auch die allgemeineren Situationen hier in den Griff.

Edit: Die zwei Methoden oben sind irgendwie ähnlich, denn bei der zweiten Methode will man vllt. verwenden, dass man für zwei Vektorräume $\begin{eqnarray*} V, ~W \end{eqnarray*}$ mit Basen $\begin{eqnarray*} (v_1,...,v_n), ~(w_1,...,w_m) \end{eqnarray*}$ eine Basis des Tensorprodukts als $\begin{eqnarray*} (v_1\otimes w_1, v_1\otimes w_2,...,v_1\otimes w_m, v_2\otimes w_1, ... , v_n \otimes w_m) \end{eqnarray*}$ erhält. Damit bekommt man aber auch wieder, dass die Dimension des Tensorprodukts das Produkt der Dimensionen ist.

15.09.2011, 23:11

_Kevin_

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Danke für Deine Antwort.. smile

Ich hab gerade versucht, meine (zugegebenermaßen verwirrten) Gedanken hier aufzuschreiben. Ich wollte deine Methode 2) verwenden, aber habe zu kompliziert gedacht. Wenn man es so vor sich hat, ist es eigentlich total einfach... ich hatte wohl einfach nur ein Brett vorm Kopf...
Ich wollte zeigen, dass sich jedes Element aus $\begin{eqnarray*} R \otimes_R M \end{eqnarray*}$ in der Form $\begin{eqnarray*} b \otimes \sum_{i=1}^{n} \end{eqnarray*}$ darstellen lässt und dann einen Isomorphismus angeben.

Zu deiner Zusatzfrage:

Wir haben das Tensorprodukt zwei Mal definiert. Das erste Mal über die Multilinearität:

$\begin{eqnarray*} V_1 \otimes_K ... \otimes_K V_r := \{ f: V_1* \times ... \times V_r* \rightarrow K | f multilinear \} \end{eqnarray*}$

Danach haben wir in 1-2 Vorlesungen Quotientenräume diskutiert und festgestellt, dass $\begin{eqnarray*} V \otimes_K W \end{eqnarray*}$ isomorph zu einem Quotientenraum ist. Und für diesen Quotientenraum haben wir die universelle Eigenschaft gezeigt.

Ich finde das alles ziemlich verwirrend, ich würde lügen, wenn ich sagen würde, ich hätte das schon vollends verstanden... verwirrt

Gruß

15.09.2011, 23:13

_Kevin_

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Argh, sorry für den Doppelpost, mir sind einige Texfehler unterlaufen.

Ich wollte schreiben:

... dass sich alle Elemente in der Form $\begin{eqnarray*} b \otimes \sum_{i=1}^{n} e_i \end{eqnarray*}$ darstellen lassen.

Und $\begin{eqnarray*} V_1* \end{eqnarray*}$ soll $\begin{eqnarray*} V_1^* \end{eqnarray*}$ heißen und den Dualraum von V_1 bezeichnen.

15.09.2011, 23:31

jester.

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Der Versuch, das alles mal ein wenig zu ordnen. Ich hoffe es ist für dich nachvollziehbar:

Die Form $\begin{eqnarray*} b\otimes \sum_{i=1}^n e_i \end{eqnarray*}$ halte ich nicht für möglich.
Beispiel $\begin{eqnarray*} 1\otimes \begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix}\in \mathbb{R}\otimes \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ . Da bekommt man Schwierigkeiten, wenn man versucht, die linke Seite auf eine feste Zahl zu bringen und gleichzeitig rechts nur Einheitsvektoren zu verwenden. Wo sollen wir die 2 unterbringen?
Richtig ist aber sicherlich folgendes: es gibt für jedes $\begin{eqnarray*} k\otimes v \in K\otimes V \end{eqnarray*}$ Elemente $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n \in K \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} k\otimes v = 1\otimes \sum_{k=1}^n a_i b_i \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist (also für $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ zum Beispiel die Einheitsvektoren).
Das liegt daran, dass wir jedes $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} v=\sum_{k=1}^n a_i b_i \end{eqnarray*}$ mit geeigneten $\begin{eqnarray*} a_i\in K \end{eqnarray*}$ schreiben können.
Also gilt $\begin{eqnarray*} k\otimes v = k\otimes \sum_{j=1}^n a_i b_i = (k\cdot 1)\otimes \sum_{j=1}^n a_i b_i= 1\otimes \sum_{j=1}^n (ka_i) b_i \end{eqnarray*}$

Wichtig wäre nun noch die Erkenntnis, dass $\begin{eqnarray*} (1\otimes b_1, ... , 1\otimes b_n) \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} K\otimes V \end{eqnarray*}$ ist (war möglicherweise schon in eurer Vorlesung dran). Welchen Isomorphismus zu $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ können wir dann auf dieser Basis festsetzen (das Tensorprodukt ist ja auch ein Vektorraum, also können wir uns für die Basis etwas wünschen, was dann eine eindeutige lineare Abbildung liefert)? Wie gesagt, der geeignete Isomorphismus springt einen förmlich an. Augenzwinkern

15.09.2011, 23:37

_Kevin_

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Das hat mir stark geholfen, Danke!

Ich denke, du meinst diesen Isomorphismus:

$\begin{eqnarray*} 1 \otimes b_i \mapsto b_i \end{eqnarray*}$

Ist eigentlich klar, dass das ein Isomorphismus ist...

Ich denke, ich habe mir das alles viel zu kompliziert gemacht und zu sehr um die Ecke gedacht... so schwer scheint das ganze nun echt nicht zu sein, wenn man das einmal durchdrungen hat... ist eben abstrakt. geschockt

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