Grenzwert

16.09.2011, 11:42

FloTU

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Grenzwert

Ich hab mit folgendem Grenzwert Probleme :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1 }^\infty \frac{2}{3^n} \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } = 0 \end{eqnarray*}$ müsste die Reihe schonmal konvergieren.

Ich komme jetzt bei der bestimmung des Grenzwertes nicht weiter.

smile

smile

16.09.2011, 11:43

klarsoweit

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RE: Grenzwert
Hmm. Im Summanden-Term kommt weder ein k noch ein x vor. Also gehe zurück zur Badstraße. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.09.2011, 11:44

Alive-and-well

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1 }^\infty \frac{2}{3^k} \end{eqnarray*}$ so soll die Summe doch bestimmt aussehen oder?

16.09.2011, 11:45

FloTU

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Ja habs geändert.

16.09.2011, 11:47

klarsoweit

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Stichwort: geometrische Reihe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.09.2011, 11:55

FloTU

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Für den Grenzwert hab ich jetzt mal die Formel für die Geometrische Reihe benutzt.

Stimmt das so ?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty q^k = \frac{1}{1-q} = \frac{1}{(1-\frac{2}{3}) } = 3 \end{eqnarray*}$

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16.09.2011, 12:04

klarsoweit

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Warum nimmst du q=2/3 ? Davon sehe ich nichts.

Außerdem beginnt deine Summe mit n=1, nicht n=0.

16.09.2011, 12:06

FloTU

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$\begin{eqnarray*} q = \frac{2}{3^n} \end{eqnarray*}$ und ich hab gedacht das man bei der Formel einfach das n weglassen kann.

16.09.2011, 12:10

klarsoweit

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Dann setz mal dein q in $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty q^k \end{eqnarray*}$ ein. Da paßt doch irgendwas nicht.

16.09.2011, 15:07

FloTU

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Ich hab jetzt das Quotientenkriterium benutzt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{2*3^n}{3^{(n+1)}*2} = 1 \end{eqnarray*}$

Aber da gibt es doch noch das Kriterium bei einer geometrischen Reihe wie würde ich den das benutzen?

16.09.2011, 15:09

klarsoweit

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Mal abgesehen davon, daß der Grenzwert 1/3 ist, mußt du eben deine Reihe so umformen, daß es auf die geometrische Reihe paßt. Als erstes würde ich mal die 2 vor die Summe ziehen.

16.09.2011, 16:07

FloTU

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$\begin{eqnarray*} 2*\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{3^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Sn=a\frac{1-q^n}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Sn = 2* \lim_{n \to \infty } (\frac{\frac{1}{3^{n+1}}-1}{\frac{1}{3^n}-1}) \end{eqnarray*}$

16.09.2011, 16:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von FloTU
$\begin{eqnarray*} Sn=a\frac{1-q^n}{1-q} \end{eqnarray*}$

Ich finde es immer wieder toll, wie Formeln aus den Hut gezaubert werden. Kannst du irgendwie verraten, für welche Reihe das gilt?

Abgesehen davon war ja $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty q^k = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ ok. Du mußt eben nur deine Reihe so umformen, daß das paßt. Einen ersten Schritt mit der 2 hast du gemacht. Jetzt fehlt noch, daß deine Reihe auch mit dem Index n (oder k oder was auch immer) = 0 beginnt.

16.09.2011, 16:34

FloTU

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Ok dann ist

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty q^k = \frac{1}{(1-\frac{1}{3^n}) } \end{eqnarray*}$

sehe ich das richtig ?

16.09.2011, 16:46

klarsoweit

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RE: Grenzwert
Wenn wir mal nur $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1 }^\infty \frac{1}{3^n} \end{eqnarray*}$ betrachten, dann haben wir immer noch das Problem, daß diese Reihe mit n=1 und nicht mit n=0 anfängt. Das muß man erstmal beheben. Im Zweifelsfall dadurch, daß du einfach 1 addierst und wieder subtrahierst.

Das anscheinend aber viel größere Problem ist, daß du nicht sagen kannst, welches q in deiner Reihe steckt. Das muß (noch ein Tipp) eine Konstante zwischen -1 und 1 sein.

16.09.2011, 20:19

FloTU

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es gilt doch

$\begin{eqnarray*} \frac{a (n+1)}{a (n)} = q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ = q

16.09.2011, 22:21

klarsoweit

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Richtig. Bleibt noch das Thema mit dem Index-Startert.

17.09.2011, 15:27

FloTU

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Ich habe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3^n} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} q=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} n=1 \rightarrow \frac{1}{3^n} = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

dann gilt für die Reihe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}+\frac{1}{3^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe jetzt nicht genau das Problem mit dem Index.
Die Reihe fängt bei 1 an wenn sie bei null anfänget dann würde beim ersten Glied $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ rauskommen.

Muss ich jetzt 1 addieren zum Index n oder muss ich 1 zu 1/3 addieren ?

17.09.2011, 18:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von FloTU
dann gilt für die Reihe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}+\frac{1}{3^{n+1}} \end{eqnarray*}$

verwirrt

Kannst du mir das erklären?

Zitat:

Original von FloTU
Die Reihe fängt bei 1 an wenn sie bei null anfänget dann würde beim ersten Glied $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ rauskommen.

Wieso das ?

Thema Index: deine Reihe sieht im wesentlichen so aus: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1 }^\infty (\frac{1}{3})^n \end{eqnarray*}$

Die Formel für die geometrische Reihe sieht so aus: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

Sind wir uns einig, daß du diese Formel auf deine Reihe noch nicht anwenden kannst, weil deine Reihe den Index-Start n=1 und nicht n=0 hat?

Also mußt du deine Reihe umformen. Dazu schreibst du:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{3})^n = -1 + (\frac 1 3)^0 + \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{3})^n = -1 + \sum\limits_{n=0}^\infty (\frac{1}{3})^n \end{eqnarray*}$

Und jetzt kannst du die Reihenformel anwenden.

29.09.2011, 14:49

FloTU

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kannst du mir erklären wie du auf die -1 kommst ?

Mein Rechenweg sieht jetzt so aus aber wo ist mein Fehler ?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2}{3^n} \end{eqnarray*}$

jetzt habe ich die 2 ausgeklammert und vor die Summe geschrieben weil es ja ein Produkt ist.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty 2*(\frac{1}{3})^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2*\sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{3})^n \end{eqnarray*}$

für n=0

$\begin{eqnarray*} 2*-(\frac{1}{3})^0+\sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{3})^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2*(-1)+\frac{1}{1-\frac{1}{3}} = -1/2 \end{eqnarray*}$

Irgendwo habe ich noch einen Fehler.

29.09.2011, 15:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von FloTU
für n=0

$\begin{eqnarray*} 2*-(\frac{1}{3})^0+\sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{3})^n \end{eqnarray*}$

Wenn, dann so: $\begin{eqnarray*} 2 \cdot (-(\frac{1}{3})^0 + \sum\limits_{n=0}^\infty (\frac{1}{3})^n) \end{eqnarray*}$

29.09.2011, 15:10

FloTU

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$\begin{eqnarray*} 2*(-1+\frac{1}{1-\frac{1}{3}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2*(-1+\frac{3}{2}) \Rightarrow 1 \end{eqnarray*}$

also ist mein Grenzwert 1 ich bin mir sicher das das jetzt stimmen muss.

smile

smile

29.09.2011, 15:41

klarsoweit

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Damit bin ich einverstanden. Freude

Freude

1

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