allgemeines konvexes n-Eck |
| 17.09.2011, 15:54 | annik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| allgemeines konvexes n-Eck Alle Seiten eines konvexen n-Ecks, vom Umfang 12cm, werden um 1cm nach außen ,,verschoben''. Beweisen Sie, dass sich dabei der Flächeninhalt des n-Ecks um mehr ls 15² vergrößert. Hinweis: Ein n-Eck heißt konvex, wenn nichtbenachbarte Seiten keinen gemeinsamen Punkt haben und alle Innenwinkel kleiner als 180° sind. Meine Ideen: Ich weiß, dass zählt nicht als Beweis, aber ich habe mal die Anzahl der Ecken n gegen unendlich laufen lassen. Statt einer Ellipse habe ich dann einen gewöhnlichen Kreis genommen. Da A = ? r² und r = u / (2?) ist A = u² / (4?) A = 12² / (4?) = 11,46cm² (r = u//(2?) = 1,91cm r++ = 2,91cm, A++ = ? r² = 26,6cm² A++ - A = 15,14cm^2 Ich vermute mal, dass du dies mit "15²" gemeint hast. Als nächstes habe ich mir ein n-Eck mit möglichst kleinem n gegriffen, das leicht zu berechnen ist: n = 4, speziell hier: ein Quadrat. AQ = a² = 12² = 144cm² AQ++ = (a+2)² = 14² = 196cm² HIer beträgt die Differenz AQ++ - AQ = 52cm². Man kann also davon ausgehen (das gilt es aber noch zu beweisen), dass mit jeder Reduzierung der Eckenzahl der Flächenunterschied zwischen den in der Aufgabe genannten n-Ecke größer wird. Demnach stellt der Kreis das Minimum dar und da die Differenz beim Kreis > 15cm² ist, sollte die Behauptung gelten. Das sollte nur ein Denkansatz sein. Es gilt noch zu überlegen, wie man beweist, dass die Eckenanzahlveränderung sich umgekehrt auf die Höhe der Differenz auswirkt. |
||||
| 17.09.2011, 15:56 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: allgemeines konvexes n-Eck http://www.dortmunder-mathematikwettbewe...W1112-R1-09.pdf
Das ist damit wohl hinfällig. |
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
| Die Neuesten » |
|
