[Bosch - Algebra] 3.5 Aufgabe 8)

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gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »
[Bosch - Algebra] 3.5 Aufgabe 8)
Hi,

Beschäftige mich gerade ein bisschen mit Algebra und folgende Aufgabe verwirrt mich:

Zitat:






Ich kann bisher zeigen, dass [L:K] kleiner oder gleich n! ist und ebenfalls sehe ich, dass f irreduzibel sein muss, damit Gleichheit gilt. Jedoch sehe ich noch keinen Weg zu zeigen, dass [L:K] ein Teiler von n! sein muss (allerdings ist das noch nicht die Frage).
Ich habe also erstmal versucht, mich an ein paar Beispielen von der Richtigkeit der Aussage zu überzeugen und hadere nun an folgendem: Betrachte



Ist dritte Einheitswurzel, so sollte doch für den Zerfällungskörper L gelten



und weiterhin:

und falls ich mich nicht irre, dann hat jede Erweiterung hierbei den Grad 3, d.h.



Andererseits ist jedoch . Aber wegen würde das ja der ersten Aussage von der Aufgabe widersprechen.

Könnte mich vielleicht jemand aufklären, wo ich hier den Denkfehler habe?

Vielen Dank und Grüsse

Wink
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Bosch - Algebra] 3.5 Aufgabe 8)
hallo gonnabphd,
ich bin auch algebra-fan und habe deinen denkfehler entdeckt. Für den zerfällungskörper von f brauchst du das zeta nicht, es ist vielmehr L = Q (3.wurzel aus 2, 3.wurzel aus 3). Dann müsste der grad von L über K = 9 und nicht =27 sein, und dann kommt die lösung hin, denn 9 ist teiler von 6!
Na, alles verstanden?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Bosch - Algebra] 3.5 Aufgabe 8)
Zitat:
Original von ollie3
Für den zerfällungskörper von f brauchst du das zeta nicht, es ist vielmehr L = Q (3.wurzel aus 2, 3.wurzel aus 3).


Wie soll denn das gehen? Es ist doch , aber der Zerfällungskörper des angegebenen Polynoms muss doch sicherlich auch komplexe Nullstellen enthalten.
Der Denkfehler ist, dass , da das Minimalpolynom von das Kreisteilungspolynom ist.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Der Denkfehler ist, dass , da das Minimalpolynom von das Kreisteilungspolynom ist.


Ahso, da hab ich mich also vertan. geschockt Dann passt ja doch alles zusammen.
Vielen Dank schonmal dafür, jester. smile

Ich meditier dann nochmal ein bisschen weiter. Ggf. muss ich mich dann wohl später nochmal hier melden.

Freude
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Habe mich heute Abend nochmal hingesetzt, aber die zündende Idee will nicht kommen.

Ein paar Überlegungen:

Sind die Nullstellen von f (nicht unbedingt verschieden), dann gilt: . Ausserdem ist



das sind ja schonmal n Faktoren. Dann: In fällt von f "ein linearer Faktor ab". Man hat dort mit g einem Polynom in vom Grad kleiner als demjenigen von f. Irgendwie würde das ja zu einem Induktionsbeweis einladen, da



und L Zerfällungskörper von g über ist und man dann vorraussetzen könnte, dass . Allerdings sehe ich nicht, weshalb man so wählen kann, dass gilt...

Für ein paar Tipps wäre ich dankbar. smile
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Einen Induktionsbeweis zu machen, ist genau die richtige Idee. Unterscheide im Induktionsschritt die zwei Fälle irreduzibel und reduzibel.
Im ersten Fall kann man nämlich zu eine Nullstelle adjungieren und hat (da eben irreduzibel, diese Aussage steht sicher irgendwo im Bosch).
Im zweiten Fall hat man eine Faktorisierung in zwei Polynome echt kleineren Grades und der Beweis geht ebenfalls durch. Dabei braucht man dann auch keine Nullstellen, wie in deinem Beweisversuch, sondern nur die Existenz eines Zerfällungskörpers, der dann nach Induktionsvoraussetzung wieder die Teilbarkeitseigenschaft erfüllt.
 
 
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Ah! Ich muss gestehen, mir ist erst gerade vorhin aufgefallen, dass



Aber ist ja klar, denn die Binomialkoeffizienten sind ja ganze Zahlen.
Damit und mit deinem Tipp (ich denke zwar, es dürfte auch mit Nullstellen - wie oben - gehen? Vielleicht ein bisschen weniger elegant Augenzwinkern ) haben wir falls f reduzibel ist:



mit nichtkonstanten Polynomen und . Ist K' Zerfällungskörper von g, so gilt und L ist Zerfällungskörper von h über K'. Damit und der Induktionsvoraussetzung



Vielen Dank für die schnelle Hilfe, jester. Freude

Grüsse Wink
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