Homomorphismen |
| 18.09.2011, 12:59 | krussel89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Homomorphismen Seien G, H Gruppen und f: G--> ein Homomorphismus von Gruppen. Zeigen sie: (a) Für alle a Element G gilt: ord a kleiner oder gleich ord f(a). (b) ord a= ord f(a) für alle a Element G <--> f ist injektiv. Ich weiß leider, dass beide Aussagen richtig sind, aber wie ich es zeige weiß ich nicht zu a) Meine Ansätze: - ord a gibt doch die Anzahl der Elemente in G an und ord f(a) die Anzahl der Elemente in H - H ist doch eine Untergruppe von G und daher hat H entweder genausoviele oder weniger Elemente aus G - zudem ist ord a= ord f(a), wenn f injektiv ist, da jedes Element aus dem Wertebereich auf ein Element des Definitionsbereich abgebildet werden muss, ist die Abbildung surjektiv, so würde ord a kleiner als ord f(a) sein, da nicht jedes Element im Definitionsbereich getroffen werden muss ist das soweit richtig und wie zeige ich dass? Das ist ja kein Beweis, oder dachte mir schon, dass man vielleicht, einen Gegenbeweis machen könnte, also, dass man annimmt, dasss ord a kleiner als ord f(a) ist und das kann ja nicht sein, da G ja mehr Elemente enthält als H, aber weiter weiß ich leider nicht zu b) habe ich ja oben in a schon beschrieben, aber wie zeige ich das? |
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| 18.09.2011, 13:11 | mathghost | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, folgende Klarstellungen sind zu machen: 1. Es steht nirgends, dass H eine Untergruppe von G ist. Also kannst du das auch nicht annehmen. Du weißt nur, dass G und H irgendwelche Gruppen sind. 2. Ist a ein Element der Gruppe G, dann ist ord(a) nicht die Anzahl der Elemente von G, sondern die kleinste natürliche Zahl n, so dass a^n = 1 ist. Das, was du meintest, ist die Ordnung einer Gruppe; das ist in der Tat die Anzahl der Elemente derselben. Hinweis: Du kannst a) per Widerspruch beweisen. Gruß, mathghost |
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| 18.09.2011, 13:22 | krussel89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich weiß leider nichts damit anzufangen, dass ord a die kleinste natürliche Zahl n, so dass a^n = 1 ist angibt. Kennen wir den a überhaupt und als natürliche Zahl würde, dann nicht nur n=0, oder 1 bei a=1 infrage kommen, sodass a^n=1 ist. Was bezeichnet ord f(a)? f(a) ist doch die Abbildung von a unter der Funktion f? und was ist das ord f(a) |
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| 18.09.2011, 13:32 | mathghost | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also, jetzt mal als allgemeiner Hinweis: Bevor du eine Aufgabe zu beweisen versuchst, guck' dir bitte die jeweiligen Definitionen an! Sonst wird das nix. 1. Wenn du eine endliche Gruppe hast, dann kann die Ordnung eines Elements davon irgendeine von 0 oder 1 verschiedene Zahl sein. Beispiel: Z/5Z als abelsche Gruppe (ist sogar Körper): die Restklasse 3 hat Ordnung 4. 2. ord(f(a)) bezeichnet die Ordnung des Elements f(a) in H. |
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| 18.09.2011, 13:56 | krussel89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ich habe mir die Definition noch mal angeschaut und habe auch verstanden, dass in Z modulo 5 die Restklasse 3 die Ordnung 4 hat, da 3^4= [81]5=[1]5 ist und 2 hat ebenfalls die Ordnung 4, da 2^4=[16]5=1. Aber ich komme trotzdem nicht weiter, das Element a ist doch nun eine UG von G oder? Und wie argumentiere ich, da G und H ja nicht weiter bezeichnet sind. Welchen Vorteil hat man, wenn G--> H ein Homomorphismus ist? Danke für die Geduld |
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| 18.09.2011, 14:21 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Und was ist die grundliegende Eigenschaft eines Homomorphismus? Fang mit der Argumentation an, indem du erstmal sauber aufschreibst, was überhaupt zu zeigen ist. |
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| 18.09.2011, 14:23 | mathghost | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wo steht denn, dass {a} eine Untergruppe von G ist?? a ist irgendein beliebiges Element von G.
Du musst den Beweis abstrakt und allgemeingültig führen. Dabei darfst du nur verwenden, dass G und H Gruppen sind (also Mengen mit einer gewissen Operation ["Verknüpfung" von Elementen], s.d. drei Axiome erfüllt sind) und f ein Homomorphismus von G nach H. Das ist der Vorteil der modernen Mathematik, dass man bei einem abstrakten Beweis gleich tausende Fliegen mit einem Schlag hat. Du kannst aber zur Veranschaulichung die abstrakte Aussage in Bezug auf konkrete Gruppen prüfen (z. B. die Restklassengruppen Z/nZ).
Was heißt "Vorteil"? Ohne die Annahme, dass f ein Homomorphismus von G nach H ist, wird die Aussage falsch. Du weißt ja hoffentlich, was ein Gruppenhomomorphismus ist. Wenn nicht, dann bitte die Definition nachschlagen und verstehen. |
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