Rang -> injektiv, surjektiv

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Laren0815 Auf diesen Beitrag antworten »
Rang -> injektiv, surjektiv
Hi,

Ich habe folgende Aufgabe:

Zitat:
Gegeben ist die Matrix mit der reeelen Zahl
a) Welchen Rang hat die Matrix A in Abhängigkeit von t?
b) Für welche Werte von t ist die lineare Abbildung, die durch die Matrix A beschrieben wird, surjektiv. Für Welche Werte von t injektiv? Begründen Sie jeweils ihre Antwort.


Meine Idee:

Ich beginne mit Gauss und komme auf diese MAtrix

Nun bekomme ich als Lösung
für , ist der rang 2 und für ist der Rang 3

b.) Somit ist für die Abbildung surfjektiv, da hier die

injektiv kann die Abbildung niemals werden, da für jedes t, der

Stimmt das soweit?

Viele Grüße
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Laren0815

Nun bekomme ich als Lösung



1. Lösung für welches Problem ?

2. Überlege nochmal, welchen Rang die Matrix für 2t=3 hat.

3. Warum der Kern von 0 verschieden sein soll, musst du beweisen.
Laren0815 Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1: ich bekomme 2 Lösungen für t, die den Rank der Matrix A verändern, diese sind

zu 2: sorry, muss natürlich 1,5 sein Augenzwinkern

zu 3: ich würde jetzt einfach schreiben, dass ja bekannt ist, das A nur injektiv sein kann, wenn der , da die Matrix eine m*n Matrix ist wo n>m ist, kann der Kern niemals 0 werden.

Kommt das so ungefähr hin? Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ungefähr ja, aber richtig präzise ist das nicht.

a) Der Rang von A ist 3 für , der Rang von A ist 2 für
b) Es wäre besser, wenn du von der linearen Abbildung sprächest und von und von . Eine Matrix ist nicht injektiv oder surjektiv, das sind Eigenschaften von Abbildungen. Der Fragesteller fragt ja auch nach Eigenschaften der linearen Abbildung, und nicht nach Eigenschaften der Matrix.

Dimensionssatz : Für jede lineare Abbildung gilt

Tipp: Dieser Satz liefert die gewünschten Begründungen.
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