Faltung für Potenzen mit rationalen Exponenten

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Mathomat2011 Auf diesen Beitrag antworten »
Faltung für Potenzen mit rationalen Exponenten
Meine Frage:
Ich habe mal eine Frage zu einer Formel und zwar zur Faltung bei Matlab ist das der Befehl "conv".
=
Dieses ist ja , kann es aber sein dass diese Formel auch für gilt?
Wurde das schon mal bewiesen? smile

Meine Ideen:
Ich habe einfach Polynome getestet und habe die Exponenten von [0;1] äquidistant verteilt. Bei Polynomer gleicher Länge klappt das, aber wie sieht es für den Rest aus, das weiß ich nicht genau.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht gar nicht. Was soll denn z.B. für ... sein ?
Mathomat2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Matlab:
conv([1 2 3],[4 5 6]) bedeutet ja das Ergebnis liefert Matlab mit: [4 13 28 27 28] diese Koeffizienten bekomme ich doch auch raus wenn ich das ganze so interpretiere: .
Ja gut wird es wohl nicht geben, aber kann man die Formel so anpassen, dass es geht d.h. unter einer gewissen Beschränkung?
Danke erst mal für die Antwort.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die ganz normale Polynommultiplikation mit . Weil es überhaupt nicht darauf ankommt, wie man die "Unbekannte" X im Polnomring nennt, kann man dafür jedes über R transzendente Element nehmen, also z.B. auch . Das ändert nichts daran, dass i,j,k natürliche Zahlen sind.
Wenn deine Frage heißt, ob die Polynome vom gleichen Grad sein müssen, dann heißt die Antwort eindeutig "NEIN".
Übrigens ist das auch, so wie du es geschrieben hast, die Multiplikation für Potenzreihen, wenn .

Ich sehe gerade, dass deine Formel ein bißchen korrigiert werden muss: die mittlere Klammer bracht auch den Index wie die rechte Klammer, dann passt alles.
Mathomat2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Nehmen wir einfach die Polynome . Bei dieser multiplikation entsteht doch ein Term mit dem Exponenten d.h. doch und somit ist k rational und nicht mehr natürlich. Damit muss ich auch eine andere Schrittweite nehmen d.h. . Nun passe ich meine Koeffizienten den Exponenten an d.h. an der Stelle wo der Exponent ist hab ich den Koeffizient . Also bei Polynomen gleicher Länge und bei äquidistanter Verteilung der Exponenten, kann ich die Formel benutzen und erhalte . Ich habe nur ein Problem, wenn die Exponenten verschieden sind. Mathematisch ist es einfach diese Polynome zu multiplizieren, aber ich denke conv arbeitet mit dieser Formel und ich versuche diese umzuwandeln, dass ich Polynome multiplizieren kann, deren Potenzen rationale Exponenten enthalten. Die Formel funktioniert ja nicht wenn ich
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Polynome haben Koeffizienten , und die Formel sagt, wie man daraus die Koeffizienten des Produkts der Polynome berechnet. Das hat nichts mit Exponenten von x zu tun.

Für die Multiplikation von Funktionen wie in deinem Beispiel musst du zusätzlich Potenzgesetze anwenden.

Du kannst das aber auch als Polynom in auffassen, das dann ist gleich

Das lässt sich verallgemeinern, substituiere immer , dann hast du gewöhnliche Polynome in y.
 
 
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