Variable rausfinden

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19.09.2011, 19:12

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Variable rausfinden

bugmenot Account

19.09.2011, 19:17

Pascal95

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Überleg dir mal, was $\begin{eqnarray*} n\choose 10 \end{eqnarray*}$ überhaupt bedeutet:

Die Anzahl der 10-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge.

$\begin{eqnarray*} {n\choose 10}={n\choose 13} \end{eqnarray*}$ gilt z.B. dann, wenn beides 0 ist und wann gibt es keine 10 oder 13 elementige Teilmenge einer n-elementigen Mengen ?
Wie müssen wir n also wählen ?

Überdenke noch mal die Idee, dass $\begin{eqnarray*} n\geq13 \end{eqnarray*}$ sein müsste.

19.09.2011, 19:26

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bugmenot Account

19.09.2011, 19:34

Pascal95

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Zitat:

Original von alle
da $\begin{eqnarray*} {n\choose 13} \end{eqnarray*}$ mit n<13 nicht lösbar ist.

Das habe ich aber anders kennengelernt.

Schau mal bei Wiki rein:

Zitat:

Handelt es sich bei n um eine nichtnegative ganze Zahl mit $\begin{eqnarray*} n\geq k \end{eqnarray*}$ , so kann man die aus der Kombinatorik bekannte Definition verwenden:

$\begin{eqnarray*} \binom nk = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \end{eqnarray*}$ .

Also: Wenn $\begin{eqnarray*} n\geq k \end{eqnarray*}$ , dann.

Und jetzt hätt ich fast das beste vergessen:

Zitat:

Abschnitt: EigenschaftenFür nichtnegative ganze Zahlen n und k ist $\begin{eqnarray*} \tbinom nk \end{eqnarray*}$ stets eine nichtnegative ganze Zahl. Ist dabei $\begin{eqnarray*} k > n \end{eqnarray*}$ , so gilt

$\begin{eqnarray*} \binom nk=0 \end{eqnarray*}$ .

19.09.2011, 19:38

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bugmenot Account

20.09.2011, 16:02

Pascal95

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Naja, aber man muss eben auch ersmal drauf kommen.

Ich bleibe dabei : Es sind die natürlichen Zahlen (einschließlich 0) kleiner als 10 Lösung der Aufgabe.

Falls du etwas "anderes" raus hast, kannst du ja hier nochmal schreiben, falls du / ihr das irgendwie vergleichst.

20.09.2011, 19:59

BerniO1986

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Hi

die Lösung mit $\begin{eqnarray*} n<10 \end{eqnarray*}$ ist zwar korrekt, gemeint ist aber eher 23.

Wie kommt man drauf?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ 13 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

d.h.

$\begin{eqnarray*} \frac{ n!}{10!(n-10)!} = \frac{ n!}{13!(n-13)!} \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} {10!(n-10)!} = {13!(n-13)!} \end{eqnarray*}$

Was genau dann gilt, wenn:

$\begin{eqnarray*} n-10 = 13 und n-13 = 10 \end{eqnarray*}$

Also folgt: $\begin{eqnarray*} n = 23 \end{eqnarray*}$

--------------

Die lässt sich auch anschaulich begründen.
Bsp. 5 Plätze 2 rote und 3 blaue Kugeln.

Die Möglichkeiten 2 rote Kugeln auf 5 Plätze aufzuteilen muss genauso groß sein wie die 3 blauen auf die 5 Plätze aufzuteilen.

20.09.2011, 20:36

Pascal95

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Genau,

es gilt ja

$\begin{eqnarray*} {n\choose k}={n\choose{n-k}} \end{eqnarray*}$ .

Danke für die Info Wink

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