Automorphismen

20.09.2011, 12:02	PeterSchmitt	Auf diesen Beitrag antworten »
Automorphismen Hallo, ich habe eine Frage zu Automorphismen. Gerade eben habe ich in einem Buch gelesen, dass es für den Körper der rationalen Zahlen und den Körper der reelen Zahlen genau einen Automorphismus gibt, nämlich jeweils die Identität. 1. Was ist mit f(x) = -x ? Ist das nicht auch ein Automorphismus? 2. Gilt die Aussage nicht auch für Endomorphismen allgemein? Danke, Peter
20.09.2011, 12:13	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, bei einem Körperautomorphismus muss die Abbildung mit beiden Verknüpfungen verträglich sein. Bei f(x) := -x kommst du multiplikativ in Probleme: $\begin{eqnarray} -1 = f(1) = f((-1) \cdot (-1)) = f(-1) \cdot f(-1) = 1 \cdot 1 = 1 \end{eqnarray}$ air
20.09.2011, 12:16	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x)=-x \end{eqnarray}$ ist kein Automorphismus, da bspw.: $\begin{eqnarray} f(-1)=1 \neq 1 \cdot (-1)=f(-1) \cdot f(1) \end{eqnarray}$ Zu deinem zweiten Punkt: Über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ wäre jeder Endomorphismus ohnehin Automorphismus, von daher ist die Unterscheidung unnötig. Edit: Zu spät. Ich lasse meinen Beitrag des zweiten Punkts wegen trotzdem stehen.
20.09.2011, 12:19	PeterSchmitt	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für beide Antworten. die erste Frage ist mir jetzt klar. Zur zweiten Frage: Wie sieht es bei den reelen Zahlen aus. Ist das jeder Endomorphismus auch ein Automorphismus?

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