Indikatorfunktion als Verteilungsfunktion?

20.09.2011, 13:29

kelu

Indikatorfunktion als Verteilungsfunktion?

Ich hab hier eine merkwürdige Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$ eine Sigma-Algebra auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , für alle $\begin{eqnarray*} A \in \Sigma \end{eqnarray*}$ gelte:

$\begin{eqnarray*} P(A)\in \{0,1\} \end{eqnarray*}$ .

Es sei $\begin{eqnarray*} X: \Omega \rightarrow \mathbb R\,\, \Sigma \end{eqnarray*}$ -messbar.

Zeige, dass für einige $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} P(X=c)=1 \end{eqnarray*}$ .

Was ist denn hier überhaupt zu tun? Wenn es kein solches c gäbe, könnte die zugehörige Verteilungsfunktion doch niemals gegen 1 gehen? Außerdem wäre $\begin{eqnarray*} P(\Omega)=1 \end{eqnarray*}$ doch auch gar nicht gültig? Das kann aber ja nicht schon die Lösung sein?

Ich danke vielmals für einen Hinweis!

20.09.2011, 14:33

René Gruber

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Der Beweis hängt natürlich maßgeblich von dieser Voraussetzung

Zitat:

Original von kelu
$\begin{eqnarray*} P(A)\in \{0,1\} \end{eqnarray*}$ .

ab! Es ist irgendwie nicht zu erkennen, wo das in deine Begründung einfließt. unglücklich

20.09.2011, 16:06

kelu

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Angenommen es gelte $\begin{eqnarray*} P(X=c)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Dann gilt auch $\begin{eqnarray*} F(c)=P(X\leq c)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und dann wäre F keine Verteilungsfunktion? Ich denk mir ja, dass es nicht so einfach sein kann, aber warum nicht?

20.09.2011, 16:22

René Gruber

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Zitat:

Original von kelu
Angenommen es gelte $\begin{eqnarray*} P(X=c)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Dann gilt auch $\begin{eqnarray*} F(c)=P(X\leq c)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Schon falsch: Bei jeder (!) stetigen Verteilung gilt $\begin{eqnarray*} P(X=c)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , und trotzdem nicht $\begin{eqnarray*} P(X\leq c)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . unglücklich

20.09.2011, 17:15

kelu

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Aha, na da fehlt es mir ja ganz offensichtlich an Verständnis Hammer

Dann hab ich überlegt, dass $\begin{eqnarray*} X^{-1} (B) \in \Sigma \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} B \in \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ , da X messbar, und somit folgt auch, dass $\begin{eqnarray*} P(X^{-1}(B))\in \{0,1\} \end{eqnarray*}$ . Weil alle offenen Intervalle in dieser Borel-Algebra liegen, ist $\begin{eqnarray*} P(X\in (x,\infty))\in {0,1} \end{eqnarray*}$ und das wiederum ist gleich $\begin{eqnarray*} 1-P(X\in (-\infty,x]) \end{eqnarray*}$ und somit folgt $\begin{eqnarray*} P(X \leq x)\in {0,1} \end{eqnarray*}$ . Ist das richtig?

Sagen wir, ich wüsste, dass $\begin{eqnarray*} P(X \leq x)\in {0,1} \end{eqnarray*}$ . Könnte ich dann wie folgt argumentieren?

Angenommen $\begin{eqnarray*} P(X=c)=0\,\forall\, c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Es gilt $\begin{eqnarray*} P(X=c)=P(X\leq c)-P(X<c) \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} P(X\leq c)\in \{0,1\} \end{eqnarray*}$ , folgt, dass entweder $\begin{eqnarray*} P(X\leq c)=P(X<c)=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} P(X\leq c)=P(X<c)=1 \end{eqnarray*}$ .

Ach, das bringt mich irgendwie auch nicht weiter, oder? Irgendwie krieg ich's nicht hin. Ich muss doch irgendwie mit $\begin{eqnarray*} P(X \leq x)\in \{0,1\} \end{eqnarray*}$ und dann der Verteilungsfunktion argumentieren können? Oder bin ich da schon auf dem Holzweg?

Vielen Dank für die Hilfe!

20.09.2011, 17:54

tmo

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So auf dem Holzweg bist du gar nicht.

Ist $\begin{eqnarray*} P(X=c)=0 \end{eqnarray*}$ so ist wegen $\begin{eqnarray*} P(X\leq c)-P(X < c)=P(X=c)=0 \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion stetig in c.

Wenn das aber nun für alle c gilt, so wäre die Verteilungsfunktion überall stetig.

Nun nimmt die Verteilungsfunktion die Werte 0 und 1 beide irgendwo an (Warum?)

Jetzt ist der Widerspruch nicht mehr weit entfernt.

20.09.2011, 18:07

kelu

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Na ja, ganz anschaulich würd ich erstmal sagen, wenn die Verteilungsfunktion nur 0 (oder nur 1) wäre, könnte sie ja nicht den Grenzwert 1 (bzw. 0) haben. Sie hätte auch keine Steigung, die "Dichte" wäre somit 0 und daher nicht mal als Dichte zu bezeichnen. Na ja, ist vll. etwas schwammig, aber ist es denn wenigstens richtig?

Und sie kann ja nicht stetig sein, wenn sie die Werte 0 und 1 aber nichts dazwischen annimmt, ein Widerspruch *hoff*

20.09.2011, 18:10

kelu

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Dafür, dass sie keine Werte zwischen 0 und 1 annimmt, brauche ich aber dann, dass $\begin{eqnarray*} P(X\leq x)\in \{0,1\} \end{eqnarray*}$ . Meinst du, ich kann das so zeigen, wie ich oben aufgeschrieben habe?

Ich bin sehr dankbar für die Hilfe!!!

20.09.2011, 18:34

René Gruber

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Zitat:

Original von kelu
Dafür, dass sie keine Werte zwischen 0 und 1 annimmt, brauche ich aber dann, dass $\begin{eqnarray*} P(X\leq x)\in \{0,1\} \end{eqnarray*}$ .

Ganz genau. Das Stichwort für eine saubere Beweisargumentation heißt "Zwischenwertsatz für stetige Funktionen".

20.09.2011, 18:53

kelu

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Ach ja, das klingt gut, danke!

20.09.2011, 20:21

Gast11022013

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Ich finde diese Aufgabe interessant, habe aber nochmal Fragen.

Zitat:

Original von tmo

Ist $\begin{eqnarray*} P(X=c)=0 \end{eqnarray*}$ so ist wegen $\begin{eqnarray*} P(X\leq c)-P(X < c)=P(X=c)=0 \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion stetig in c.

Also $\begin{eqnarray*} P(X\leq c)=P(X<c) \end{eqnarray*}$
Wieso folgt die Stetigkeit im Punkt c?

Edit:

Ich würde sagen, weil die Verteilungsfunktion per se rechtsstetig ist und außerdem dann auch linksstetig, denn

$\begin{eqnarray*} P(X\leq c)-P(X<c)=0 \Leftrightarrow P(X\leq c)=F_X(c)=P(X<c)=\lim_{t\uparrow c}F(t) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von tmo

Wenn das aber nun für alle c gilt, so wäre die Verteilungsfunktion überall stetig.

Okay.

Zitat:

Original von tmo

Nun nimmt die Verteilungsfunktion die Werte 0 und 1 beide irgendwo an (Warum?)

Wegen des asymptotischen Verhaltens einer Verteilungsfunktion, also
$\begin{eqnarray*} \lim_{t\to-\infty}F(t)=0, \lim_{t\to\infty}F(t)=1 \end{eqnarray*}$ ?

Oder was ist der Grund dafür?

Zitat:

Original von tmo

Jetzt ist der Widerspruch nicht mehr weit entfernt.

Wenn man jetzt ein abgeschlossenes Intervall hat (kann man als linke Grenze den Punkt nehmen, wo der Wert 0 und als rechte Grenze den Punkt, wo der Wert 1 ist?), könnte man den Zwischenwertsatz anwenden und sagen, daß alle Werte zwischen 0 und 1 angenommen werden müssten, was nicht der Fall ist.

20.09.2011, 22:37

tmo

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Das ist alles gut so Freude

20.09.2011, 22:38

Gast11022013

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Vielen Dank!

Dann habe ich die Aufgabe ja doch verstanden.

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