Was ist eine Borel-Sigma-Algebra?

20.09.2011, 17:35	schweizerkäse	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist eine Borel-Sigma-Algebra? Meine Frage: Hallo, ich lerne gerade für meine Statistik II Prüfung und verstehe die Definition der Borel-Sigma-Algebra nicht .. Vielleicht kann mir jemand erklären, was gemeint ist. Das wäre echt super! Meine Ideen: Hier ist die Definition:
20.09.2011, 17:41	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Was ist eine Borel-Sigma-Algebra? In Deiner Definition ist die Borel- $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra die kleinste $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra, die die Menge aller abgeschlossenen Intervalle (Erzeugendensystem) enthält. Analog ginge das zum Beispiel auch für das Mengensystem aller offenen Intervalle. Weißt Du denn allgemein, was eine $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ - Algebra ist?
20.09.2011, 17:52	schweizerkäse	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Was ist eine Borel-Sigma-Algebra? Also, eine $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra ist ein Mengensystem über $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ <=> 1. $\begin{eqnarray} \Omega \in \mathfrak{A} \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} A \in \mathfrak{A} => A^{c} \in \mathfrak{A} \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} (A_{n} \in \mathfrak{A})_{n \in \mathbb N } => \bigcup_{n >=1}A_{n} \in A \end{eqnarray}$ d.h. also ein Mengensystem auf einer bestimmten Grundmenge, das die Grundmenge enthält und abgeschlossen ist bezüglich der Komplementbildung und der abzählbaren Vereinigungen. Oder?
20.09.2011, 18:03	schweizerkäse	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Was ist eine Borel-Sigma-Algebra? Wie genau kann ich mir das vorstellen? Also wenn die Borel- $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra die kleinste $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra, die die Menge aller abgeschlossenen Intervalle (Erzeugendensystem) enthält, ist, wie sieht sowas zum Beispiel aus? Kannst du mir vielleicht ein Beispiel geben, damit ich mir darunter etwas vorstellen kann? Denn die kleinste $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra besteht ja nur aus $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ . Das zusammen mit der Menge, die die abgeschlossenen Intervalle enthält, ist dann die Borel- $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra?
20.09.2011, 18:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist schwer, wahrscheinlich sogar unmöglich, sich diese $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra als fertiges Objekt vorzustellen. Am besten stellst du dir das als Prozeß vor, der immer mehr Mengen zu schon vorhandenen hinzufügt. Du darfst auf Mengen, von denen du schon weißt, daß sie der Borel- $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra angehören, folgende Operationen anwenden, um neue Mengen der $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra zu erschaffen: i) Du darfst abzählbare Vereinigungen oder Durchschnitte schon konstruierter Mengen zur $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra hinzufügen. ii) Du darfst Komplemente schon konstruierter Mengen zur $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra hinzufügen. Nehmen wir den eindimensionalen Fall. Um das Ganze zu starten, beginnt man nach deiner Definition mit den kompakten Intervallen. Sie gehören der Borel- $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra an. Da die volle Menge auch zu einer $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra gehören muß, nehmen wir $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ gleich mit dazu. Man könnte $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ aber auch mit i) aus den kompakten Intervallen erzeugen. Wie zum Beispiel? Gehört etwa das offene Intervall $\begin{eqnarray} I=(0,1) \end{eqnarray}$ zur Borel- $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra? Versuchen wir, es mit i),ii) zu erzeugen. Zunächst vereinigen wir alle kompakten Intervalle $\begin{eqnarray} [1,2],[2,3],[3,4],\ldots \end{eqnarray}$ . Das sind abzählbar viele. Ihre Vereinigung ist $\begin{eqnarray} A_1 = [1,\infty) \end{eqnarray}$ . Nach i) gehört $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ zur $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra. Dann vereinigen wir alle kompakten Intervalle $\begin{eqnarray} [-1,0],[-2,-1],[-3,-2],\ldots \end{eqnarray}$ . Das sind wieder abzählbar viele. Ihre Vereinigung ist $\begin{eqnarray} A_2 = (-\infty,0] \end{eqnarray}$ . Also gehört $\begin{eqnarray} A_2 \end{eqnarray}$ zur $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra. Jetzt vereinigen wir $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_2 \end{eqnarray}$ . Wieder nach i) gehört das zur $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra. Dann bilden wir das Komplement von $\begin{eqnarray} A_1 \cup A_2 \end{eqnarray}$ . Nach ii) ist auch das ein Mitglied der $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra. Und es ist genau unser Intervall $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ . Du kannst auch andere Wege einschlagen, um $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ aus den kompakten Intervallen zu erzeugen. Versuche es selbst. Diese Überlegung kann man in abgeänderter Form für jedes offene Intervall durchführen. Also gehören alle offenen Intervalle der Borel- $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra an. Und jetzt kann man alles, was man bisher erschaffen hat, weiter verwenden, um mit i) und ii) neue Mengen der $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra hinzuzufügen. Und wenn man alles Mögliche nach i),ii) damit erzeugt hat, darf man das wieder verwenden, um neue Elemente der Borel- $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra zu bilden. Und so geht das weiter ... immmer weiter ...... ohne Ende ..... ........................ und noch weiter ........................................ ......................................................................................... ......................................................................................... ......................................................................................... ............................ weiter .................................................. ......................................................................................... ......................................................................................... . . . ........................................................................................ ............................................ weiter ................................. ........................................................................................ . . . . . . Man betritt einen riesigen Zaubergarten. Stück für Stück tastet man sich voran, um ihn zu erkunden. Dabei betritt man immer neue Gefilde. Je weiter man vordringt, desto reichhaltiger und üppiger wird alles. Man wird aber nie an das Ende des Gartens kommen. Denn er ist so groß und dehnt sich in allen möglichen Dimensionen aus (nicht nur etwa in drei, vier oder abzählbar vielen, nein, viel, viel weiter geht er ...), daß seine Ausmaße jedes Vorstellungsvermögen übersteigen. Für die Praxis ist das aber gar nicht schlimm. Denn schon in der Nähe des Eingangstores sind diejenigen Mengen zu finden, die man im "täglichen Leben" braucht: die abgeschlossenen, die offenen Mengen, die Menge der rationalen oder irrationalen Zahlen. Ein kleines bißchen weiter weg, aber immer noch in Sichtweite des Eingangstores so etwas wie das Cantorsche Diskontinuum. Letztlich ist es eine philosophische Frage, ob man glaubt, die $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra der Borel-Mengen sei etwas Fertiges. Die moderne klassische nichtintuitionistische Mathematik nimmt diesen Standpunkt jedenfalls ein.

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