Bestimmen Sie eine Basis des Kerns der Matrix

20.09.2011, 17:54	robw	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen Sie eine Basis des Kerns der Matrix Meine Frage: Hallo! Die Aufgabenstellung: Sei A = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 1 & 5 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & 8 & 4 & 2 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ El. Mat(4,5 Q). Bestimmen Sie eine Basis des Kerns von A. Meine Ideen: durch umformen komme ich auf folgende Matrix: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 18 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit der Lösungsmenge span $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{4} \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich schaue zufrieden auf die Musterlösung, muss jedoch feststellen, dass es noch eine zweite Lösung gibt. Mir ist ein Rätsel, wie unterwegs beim Umformen "Informationen verloren gehen konnten". Ich starte einen neuen Ansatz und komme auf: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 8 & -2 & 6 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit der Lösungsmenge span $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich bin nun etwas verwirrt. Wie kann es sein, dass ich zwei verschiedene Lösungen herausbekomme (klar, da es zwei Lösungen gibt!) ? aber wieso ist die eine Lösung unterwegs abhanden gekommen. Ich wäre nie auf die Idee gekommen, noch einen zweiten Versuch zu starten, um zu schauen, ob ich eventuell noch auf eine zweite, oder gar dritte Lösung komme. Meine Fragen daher: 1. Wie kann ich vorher feststellen, wie viele verschiedene Lösungen (in diesem Falle Anzahl an Basisvektoren des Kerns, also Dimension des Kerns) es gibt? 2. Wie muss ich das interpretieren, dass es verschiedene Wege gibt, die auf verschiedene Lösungen führen? Sind mir tatsächlich Informationen abhanden gekommen? Gibt es einen "Goldenen Weg", mit dem man beide Lösungen herausbekommt? Wenn ja, was muss man dafür machen bzw. wie sollte man nicht umformen? Vielen lieben Dank!!
20.09.2011, 18:01	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen Sie eine Basis des Kerns der Matrix Ich denke, dass du bereits Fehler gemacht hast bei Anwendung von Gauß. Ich habe das durchgerechnet und erzeuge nach drei Schritten mit Gauß eine Nullzeile.
20.09.2011, 18:13	robw2	Auf diesen Beitrag antworten »
kann ich mir eigentlich nicht vorstellen, denn beide Ergebnisse v1 und v2 ergeben mit A multipliziert. Av1=0 Av2=0 das wäre schon ein sehr großer Zufall…
20.09.2011, 18:19	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist es aber. Nach deinen beiden Rechnungen hat die Matrix jeweils den Rang 4, was bedeutet, dass die Dimension des Kerns jeweils 1 ist. Das bringt mich zu der Vermutung, dass du dich bei Gauß verrechnet hast.
20.09.2011, 18:24	robw3	Auf diesen Beitrag antworten »
tatsächlich. unglaublich. shame on me. was mich jetzt aber zu dem noch viel größeren rätsel führt, wieso ich dsann "zufälligerweise" auf eins der richtigen ergebnisse komme... danke für die Hilfe!
20.09.2011, 18:26	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, das ist dann halt manchmal so. Hast du denn nun die Matrix in Zeilenstufenform so herausbekommen, dass eine Nullzeile entstanden ist?
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20.09.2011, 18:56	robw4	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, hab's hinbekommen. und auch wieder die selben ergebnisse, nur dieses mal aus einer matrix herausgelesen das ist mir ein absolutes rätsel, dass ich mich zwei mal verrechnet habe, aber zwei mal einzeln eins der zwei richtigen ergebnisse raus kamen. unglaublich. ich sollte lotto spielen danke für die hilfe! gruß.

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