Frage zu lineare Unabhängigkeit

21.09.2011, 12:14

PeterSchmitt

Frage zu lineare Unabhängigkeit

Hallo,
ich verstehe folgendes nicht:

Sei
$\begin{eqnarray*} P :=\{ f \in Abb (\mathbb{R}, \mathbb{R}) ; f(x) = f(x+2\pi)\} \end{eqnarray*}$

Nun soll ich zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} f_1(x) = \sin{x}, f_2(x) = \cos{x}, f_3(x) = \sin^2{x} \end{eqnarray*}$
linear unabhängig sind.
In der Musterlösung der Aufgabe werden nun einfach
$\begin{eqnarray*} 0, \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$
eingesetzt und siehe da, das Gleichungsystem hat nur die triviale Lösung.

Was ich nun nicht verstehe ist, wieso dies dann für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gilt?

Danke!
Peter

//Edit: Sorry hatte kleinen Fehler bei der Angabe, ist korrigiert.

21.09.2011, 12:43

tigerbine

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RE: Frage zu lineare Unabhängigkeit
Die lineare Unabhängigkeit sagt, dass du Skalare a,b,c finden musst, so dass

$\begin{eqnarray*} a \cdot \sin{x} + b \cdot \cos{x} + c \cdot \sin^2{x} = 0,~\forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Wenn das also für alle x gelten soll, dann muss es auch für spezielle x gelten. Das ist der Trick. Wähle x geschickt, dann ergibt sich schon, dass a=b=c=0 gelten muss.

Klar?

21.09.2011, 13:36

PeterSchmitt

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Mir ist klar, dass es, falls es für alle x gilt, auch für spezielle x gelten muss.

Hingegen wurden hier aber nun spezielle x betrachtet und anschließend auf alle x geschlossen, also genau umgekehrt.

Wieso das? Wieso soll es nicht andere spezielle x geben, für welche es eine nicht-triviale Lösung gibt?

21.09.2011, 13:53

klarsoweit

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RE: Frage zu lineare Unabhängigkeit

Zitat:

Original von PeterSchmitt
Hingegen wurden hier aber nun spezielle x betrachtet und anschließend auf alle x geschlossen, also genau umgekehrt.

Nee, es ist schon so, wie tigerbine sagte:
Wären die Funktionen linear abhängig, dann müßte es Zahlen a,b,c gebe, von denen wenigstens eins nicht Null ist, so daß

$\begin{eqnarray*} a \cdot \sin{x} + b \cdot \cos{x} + c \cdot \sin^2{x} = 0,~\forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Dies ist aber offensichtlich nicht möglich, wenn man bestimmte x-Stellen betrachtet.

Zitat:

Original von PeterSchmitt
Wieso das? Wieso soll es nicht andere spezielle x geben, für welche es eine nicht-triviale Lösung gibt?

Es mag zwar derartige x geben, aber das hilft nicht. Die Gleichung muß schließlich für alle x gelten.

21.09.2011, 14:07

PeterSchmitt

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Ich dank euch!
Jetzt ist mir eingies klarer smile

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