Vektorraum

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Unendlich Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum
Hallo Leute,
könnte jemand mir erklären, was genau mit endlich erzeugten Vektorraum gemeint ist. Ich kann mir das nicht genau vorstellen.
Die Deifinition lautet; Ein Vektorraum ist endlich erzeugt, wenn es ein endliches Erzeugendensystem gibt.

Der Satz sagt mir nicht viel traurig

Vielen Dank im Voraus

Maus
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum
Weißt Du denn, was ein Erzeugendensystem ist?
Unendlich Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum
Hallo Tigerbine,

Ein Erzeugendensystem ist eine Teilmenge eines Unterraums, das auch der Span von dem Raum ist. Oder?

Danke für deine Mühe
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum
Naja, eigentlich ist

ein Erzeugendensystem eine Familie von Vektoren mit der Eigenschaft, dass sie den Vektorraum V erzeugt.

Familie
Unendlich Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum
Das heisst, das ein endlich erzeugter Vektorraum ist ein Vektorraum, der alle Elemente,die in diesem Raum sein können, hat.

Oder, dass der endlich erzeugte Vektorraum endliche Elemente( Vektoren) hat.

???



P.S.: Tut mir leid, wenn ich sprachliche Fehler mache. Ich lerne seit drei Jahren Deutsch.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum
Zitat:
Das heisst, das ein endlich erzeugter Vektorraum ist ein Vektorraum, der alle Elemente,die in diesem Raum sein können, hat.


Was soll das denn bedeuten? Ein Vektorraum ist gleich seiner Elemente. Natürlich. Das gilt aber für jede Menge. EDIT:Kommentar gesehen.

Ein endlich erzeugter Vektorraum besitzt ein endliches Erzeugendensystem, d.h. es gibt Vektoren mit

Daraus ergibt sich ebenfalls, dass die Basis dieses VR endlich ist, da eine maximal linear unabhängige Teilmenge des Erzeugendensystems darstellt.

Beispiel: Der , also z.B. das was du als xy-Koordinatensystems zeichnest, ist endlich erzeugt.
 
 
Unendlich Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum
Könntest du mir bitte ein Beispiel für ein nicht endlich erzeugter Vektorraum (oder unendlich ereugter Vektorraum) geben?

Danke schon Mal für alles
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum
Die stetigen Funktionen
Unendlich Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum
Super, ich habe es verstanden.
Vielen Dank
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht nochmal zwei Beispiele zur Verdeutlichung:
1. Der euklidische Vektorraum der Dimension , der dir bekannt sein sollte, ist endlich erzeugt.

.

Ein Erzeugendensystem bilden z.B. die Einheitsvektoren

.

Im oder kennst du das sicher schon aus der Schule. Die Einheitsvektoren des sind





.

2. Der Vektorraum aller Polynome mit reellen Koeffizienten und einer reellen Variablen ist nicht endlich erzeugt. Jedes solche Polynom hat die Form



mit (dabei ist natürlich ). Ein Erzeugendensystem bilden z.B. die unendlich vielen Monome für .

Gruß MSS
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nur eine kleine Bemerkung, da Unendlich nicht so ganz sprachfit ist. Das zweite Beispiel von MSS ist nicht zu verwechseln mit dem Vektorraum aller Polynome von Höchstgrad n, dieser ist endlich erzeugt.
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