Rationale und Irrationale Zahlen

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Lona Auf diesen Beitrag antworten »
Rationale und Irrationale Zahlen
Meine Frage:
Hallo,

wir haben im Moment in der Schule das Thema : Rationale & Irrationale Zahlen. Ich habe nicht ganz verstanden .wie ich die unterscheiden kann... und wie ich z:B diese Aufgabe lösen kann : Begrüne warum 'wurzel' aus 5 und 'wurzel'aus 9.25 keine rationale Zahl ist. Kann mir das vielleicht jemand erklären wie ich das machen muss? Wäre echt nett smile

Meine Ideen:
RAtionale Zahlen lassen sich als Brüche darstellen und man kann sie als endliche Dezimalbrüche schreiben.
numerouno Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rationale und Irrationale Zahlen
Deine Ideen sind völlig korrekt, rationale Zahlen sind durch Brüche darstellbar und somit gibt auftreten Perioden und damit endlich angebbar.
Dies ist bei irrationalen Zahlen wie Wurzel 2 nicht möglich, dies kann bewiesen werden indem man es wie Euklid über den Widerspruch macht.
 
 
Lona Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rationale und Irrationale Zahlen
Ja ,aber wie kann ich es begründen das die Wurzel aus 5 keine rationale zahl lst?
numerouno Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rationale und Irrationale Zahlen
Mithilfe der Annahme das Wurzel 5 eine rationale Zahl ist, also als Bruch darstellbar ist:





Das können wir wie folgt umformen:



Schau den Rest mal bei Wiki nach, dort wird das weitere Vorgehen erklärt:
Lona Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rationale und Irrationale Zahlen
Oh gott zu kompliziert unglücklich Ich verstehe es nicht!! unglücklich na ja..trotzdem danke....
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rationale und Irrationale Zahlen
Ich denke, der Widerspruchsbeweis ist in der Schule nicht gefordert. Das ganze ist Thema der 9. Klasse und ich habe eine Nachhilfeschülerin, mit der ich ähnliches letztes Jahr auch gemacht habe, bei ihr hat in der Schule ausgereicht, dass Wurzeln aus Primzahlen der "Prototyp" für irrationale Zahlen sind. Das bedeutet nicht, dass es nicht vielleciht ganz interessant sein könnte, einen solchen Beweis einmal zu führen.

Aber in der Aufgabenstellung steht nicht "beweise, dass...." sondern "begründe, warum..." und da kann man dann Bekanntes zu Rate ziehen.
numerouno Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rationale und Irrationale Zahlen
Was ist den daran kompliziert, ich beweise es wie folgt ganz einfach.
Du sagtest selbst das rationale Zahlen als Brüche angegeben werden können, irrationale Zahlen nicht. Jetzt nehmen wir an das Wurzel 5 eine rationale Zahl ist und stellen diese als Bruch dar, p ist der Zähler und q der Nenner, diese sind teilefremd das heißt
sind schon soweit wie möglich gekürzt worden.

Nächster Schritt ist das Quadrieren das heißt, 5 entspricht p/q zum Quadrat, das stellt man noch ein wenig um und das wars. Jetzt kommt der Haupteil der zum Widerspruch führt, wenn die eine Seite durch 5 teilbar ist muß es auch die andere sein, heißt Zähler und nenner sind nicht teilfremd wie oben angegeben.

Daraus folgt zwangsläufig das Wurzel aus 5 eine irrationale Zahl ist.

Wo haberts denn genau, was verstehst du nicht?
Lona Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rationale und Irrationale Zahlen
Ja genau 9-te KLasse-Gymnasium... smile
Lona Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rationale und Irrationale Zahlen
Ahh JA dankeschön smile
Lona Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rationale und Irrationale Zahlen
Hä? Ich versteh des nicht ,was meinen Sie damit.' wenn die eine Seite durch 5 teilbar ist muß es auch die andere sein, ' wie kommen die darauf? :S
numerouno Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rationale und Irrationale Zahlen
Fangen wir nochmal von vorne an, wir nehmen an die Wurzel 5 ist rational, heißt
wir können dies als Bruch schreiben:





Soweit ists doch hoffentlich klar.
Jetzt kann man daraus schlussfolgern, wie beim Beweis der Irrationalität der Wurzel 2 das sowohl p^2 wie auch 5q^2 durch 5 teilbar sein müssen.
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

das mit vollständig gekürzten brüchen und teilbarkeiten brauchst du eigentlich nicht.

nun kannst du dir folgendes überlegen:
jede zahl natürliche zahl > 1 hat eine eindeutige primfaktordarstellung.
ist diese zahl eine quadratzahl, dann kommt jeder primfaktor in eriner geraden anzahl vor (z.b. 6 mal die 5 oder zweimal die 3, aber die 11 kann zum beispiel nicht genau 9 mal vorkommen)

wir wollen wissen, ob
eine rationale zahl ist.
dies bedeutet, dass sein muss, wobei p und q erst einmal unbekannte natürliche zahlen sind.

da wir nur mit zahlen >0 hantieren, dürfen wir beide seiten mit den hauptnenner durchmultiplizieren und dann das ganze quadrieren.

es gilt also: (*)

du weisst aber, dass nur geradzahlige anzahlen an primfaktoren enthält und das das auch auf zutrifft.

damit (*) aber nun erfüllt ist, darf a auch nur aus einer geradzahligen anzahl an primfaktoren bestehen, in anderen worten: es muss selbst eine quadratzahl sein.

ist a ein bruch, dann reicht es zu zeigen, dass der nenner und der zähler jeweils rational sind.

beispiel:

es ist zu überprüfen, ob rational ist.
un des zu zeigen ,schaust du, ob und rational sind. konkret läufts dann auf folgendes hinas: ist rational, nicht, somit ist irrational
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@ numerouno

Der Fragesteller ist in der neunten Klasse. Was gibt es nicht daran zu verstehen, dass ein solcher Beweis für den gängigen Neuntklässler alles andere als einfach ist? Den Beweis formal und voller Fachbegriffe zu führen hilft da kein bisschen.

air
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht nur schwer zu verstehen und nachzuvollziehen sondern auch vollkommen unnötig, denn nach einem Beweis ist, wie ich bereits in meinem letzten Post geschrieben habe nicht gefragt, sondern nach einer Begründung.

Hier ist dann die Frage, was über Wurzeln allgemein bekannt ist, was in der Schule bisher durchgenommen wurde.

Wie auch bereits erwähnt reichte bei einem meiner Schüler vollkommen aus, dass Wurzeln aus Primzahlen immer irrational sind.

Bei muss man dann ein wenig grübeln, ist aber auch auf die Wurzel einer Primzahl zurückzuführen.

Ich bitte also darum, den Thread konform dem Stand der Klasse 9 weiter zu führen.
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