Extremwertaufgabe (höchstes Volumen gesucht!) |
| 22.09.2011, 17:06 | El Fantastico | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Extremwertaufgabe (höchstes Volumen gesucht!) Hey Leute, ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe: Ein Rechteck mit den Seitenlängen a= 40cm und b= 25cm ist gegeben. Nun sollen von den Ecken des Rechtecks kongruente Quadrate ausgeschnitten werden, sodass man das Rechteck in einen Kasten verwandeln kann mit dem möglichst höchstem Volumen. Meine Ideen: Ich hab viel überlegt, doch leider weiß ich nicht so genau wie ich da vorgehen muss. Ich hoffe Ihr könnt mir hierbei weiterhelfen. Danke im Voraus! |
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| 22.09.2011, 17:20 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie ist die Formel für das Volumen eines Quaders ? Nenne die Einschnittstiefe x oder wie du willst und mache dir eine Skizze. |
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| 22.09.2011, 17:25 | El Fantastico | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Volumen eines Quaders: a*b*c aber mir fehlt doch die Höhe um überhaupt ein Volumen auszurechnen, genau das verstehe ich nicht! :/ eine Skizze habe ich ich schon gemacht, aber woher weiß ich denn wie lang die Einschnittstiefe ist? |
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| 22.09.2011, 17:30 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann hast du die Aufgabe noch nicht verstanden ? Genau das ist ja die Aufgabe, es herauszufinden, für welche Einschnittstiefe maximales Volumen entsteht. [attach]21250[/attach] |
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| 22.09.2011, 17:33 | El Fantastico | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Verdeutlichung! 
Also bis dahin bin ich mit meinen Überlegungen auch gekommen. Aber wie es nun weitergeht weiß ich leider nicht.. :/ |
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| 22.09.2011, 17:35 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da musst du räumlich denken können... Um es noch deutlicher zu machen: [attach]21251[/attach] Das ist die Figur, die wir eigentlich jetzt haben |
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| 22.09.2011, 17:38 | El Fantastico | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das weiß ich doch, aber ich komme trotzdem nicht weiter. Kannst du mir nicht einfach einen Rechenweg geben und erklären? |
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| 22.09.2011, 17:40 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt ist aber wenigstens die Höhe des Quaders klar, oder ? |
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| 22.09.2011, 17:43 | El Fantastico | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich denke schon. Das muss in diesem Falle x sein, oder? |
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| 22.09.2011, 17:44 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, klar 
Schließlich klappt man die Flächen ja alle hoch, die jetzt am Rand sind... Wie lang und tief ist nun der Quader ? Dazu muss man gar nicht mehr räumlich denken.... |
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| 22.09.2011, 17:49 | El Fantastico | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der ist 40cm lang und 25cm tief |
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| 22.09.2011, 17:52 | El Fantastico | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich glaube ich habe da was vertauscht, oder?
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| 22.09.2011, 17:59 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, an beiden Seiten schneidest du ein und klappst das hoch. Die ganzen 40cm gehen nicht für die Breite drauf... |
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| 22.09.2011, 18:00 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Täusche ich mich, oder hast du hier (Extremwertaufgabe (maximal Volumen gesucht)) tatsächlich einen Doppelpost erstellt ? |
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| 22.09.2011, 18:04 | El Fantastico | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ach, stimmt ja! Und wie geht es weiter? ps. ja, ich bin neu hier. Ich wollte diese Frage löschen und einen neuen Versuch starten, weil ich dachte du antwortest nicht mehr. Ich brauche den Rechenweg dringend.. |
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| 22.09.2011, 18:28 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hast du die anderen Werte (Länge, Breite) ? Dann kannst du ja die von dir genannte Volumenformel anwenden und maximieren (Ableitung hattest du schon ?)... |
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| 22.09.2011, 18:33 | El Fantastico | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für deine Hilfe, mal so nebenbei!
Also ich habe jetzt diese gleichung: V= (40-x) (25-x) * x wenn ich das richtig verstanden habe, dann muss ich die 1. Ableitung bilden und mit 0 gleichsetzen, um die Stelle herauszukriegen, wo das Volumen am höchsten ist (Hochpunkt) |
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| 22.09.2011, 18:49 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Fast richtig. Nun werden allerdings auf beiden Seiten x (cm) abgezogen. Wie lang ist das blaue Stück also ? [attach]21252[/attach] |
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| 22.09.2011, 18:55 | El Fantastico | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmmm, ich denke das blaue Stück ist (40cm - x(cm)) groß. |
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| 22.09.2011, 18:59 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, auf beiden Seiten werden x abgezogen. |
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| 22.09.2011, 19:02 | El Fantastico | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sorry, aber das verstehe ich nicht so ganz. 
Die Länge von 40cm ist doch nur von der Seite x beeinflussbar, die horizontal verläuft. |
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| 22.09.2011, 19:16 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, aber schau es dir an: [attach]21254[/attach] Skizzen helfen wirklich 
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| 22.09.2011, 19:19 | El Fantastico | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ahaa lautet die Gleichung dann V= (40 - 2x) (25 -2x) * x ? |
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| 22.09.2011, 19:31 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sehr gut! Es ist auch völlig richtig, dass es sich hierbei um eine Gleichung handelt. Allerdings möchten wir nun die Funktion (in Abhängigkeit von x) definieren: Dies muss, wie du richtig bemerkt hast, abgeleitet werden. Dazu gibt es verschiedene Möglichkeiten. Ich empfehle, den Term zu vereinfachen, im Sinne von "ausmuliplizieren". |
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| 22.09.2011, 19:33 | El Fantastico | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
alles klar. Ich danke dir für die Hilfe und die Zeit, die du für mich geopfert hast
Ich rechne das mal so durch und präsentiere dir dann anschließend meinen Rechenweg. |
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| 22.09.2011, 19:34 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, gerne
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| 22.09.2011, 20:01 | El Fantastico | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Folgendes Ergebnis: V(x)= (40-2x) (25-2x) x = 4x^3 - 130x^2 + 1000x V'(x)= 12x^2 - 260x + 1000 Dies habe ich dann mit 0 gleichgesetzt. Folgende Stellenwerte kamen heraus: x1= 50/3 , x2= 5 Um zu beweisen, dass es sich wirklich um Extrempunkte handelt und welches der beiden Stellen der gesuchte Hochpunkt ist, muss man die 2. Ableitung bilden. V''(x)= 24x - 260 V"(50/3)= 140 (> 0, also ein Tiefpunkt) V"(5)= -140 (< 0, also ein Hochpunkt) Somit bin ich zu der Schlussfolgerung gekommen, dass die Einschnittstiefe 5cm betragen muss, damit ein maximales Volumen entsteht. Ich hoffe, das ist richtig.. |
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| 22.09.2011, 22:38 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Japp, so stimmt es!
mY+ |
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| 22.09.2011, 22:40 | El Fantastico | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke
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