Frobenius Homomorphismus

22.09.2011, 19:25	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Frobenius Homomorphismus Ist $\begin{eqnarray} q=p^r, \mathbb F_q\subset \mathbb F \end{eqnarray}$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad n, dann ist $\begin{eqnarray} Aut_{\mathbb F_q}(\mathbb F) \end{eqnarray}$ zyklisch von der Ordnung n und wird erzeugt vom relativen Frobenius Homomorphismus $\begin{eqnarray} \sigma^r :\mathbb F \to \mathbb F, a\to a^q \end{eqnarray}$ . Ich habe spaßeshalber den Frobenius Homomorphismus für eine Erweiterung $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \subset \mathbb F_8 \end{eqnarray}$ berechnet, und es ist, wie es sein soll $\begin{eqnarray} \sigma^3=id \end{eqnarray}$ . Dieses Beispiel für eine Erweiterung $\begin{eqnarray} \mathbb F_8\subset \mathbb F_8^3 \end{eqnarray}$ zu berechnen, wird mir zu aufwändig. Kann mir jemand sagen, wie sich sowas berechnen lässt oder wo man durchgerechnete Beispiele findet ? Meine Idee: Samstag & Sonntag rechnen.
22.09.2011, 19:37	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, was heißt "wie sich sowas berechnen lässt"? Es stellt sich ja immer die Frage, wie der Körper realisiert wurde. In den meisten Fällen (insbesondere wenn man den Körper rechnerisch handhaben möchte) hat man den Körper ja als Restklassenkörper über dem Polynomring des endl. Körpers gegeben. Die NS des herausfaktorisierten irreduziblen Polynoms, die man adjungiert hat ist gegeben durch $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und alle weiteren NS eben durch den Frobenius angewendet auf $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Dies kann man ganz im Wortsinne der Potenzbildung im Polynomring sehen. Wenn ich auf dem Papier mit einem solchen Körper arbeite würde ich vermutlich nicht nach einem irreduziblen Polynom geeigneten Grades suchen, sondern vllt einfach formal eine geeignete Einheitswurzel adjungieren. Das funktioniert auch in jedem Fall und auch hier ist der Frobenius so harmlos wie man es gerne hätte. Ich hoffe, das beantwortet zumindest ein bisschen was von deiner Frage.
23.09.2011, 16:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das war ein guter Hinweis. So lässt sich die Körpererweiterung $\begin{eqnarray} \mathbb F_8\subset \mathbb F_{512} \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} \zeta:=\eta^{73}\Rightarrow\zeta^7=\eta^{511}=1 \end{eqnarray}$ sehr leicht darstellen. Die Rechnung reduziert sich auf drei einfache Spalten in Excel, weil alle Körperelemente Einheitswurzeln sind und die Automorphismen lediglich die Exponenten vervielfachen. "(mod 511)" heißt in Excel "=REST(...;511)". Man sieht sehr schön, dass $\begin{eqnarray} \mathbb F_8 \end{eqnarray}$ der Fixkörper unter dem relativen Frobenius-Homomorphismus $\begin{eqnarray} \sigma^3:x\to x^8 \end{eqnarray}$ ist. (Genau das wollte ich konkret sehen.) $\begin{eqnarray} (\sigma^3)^3=id \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb F_{512} \end{eqnarray}$ ist sowieso klar.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »