Ganzrationale Funktion 4. Grades |
| 22.09.2011, 19:49 | matheflop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Ganzrationale Funktion 4. Grades Hallo Leute ich habe folgende Aufgabe vor der ich stehe: Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion 4ten Grades, deren Graph a)symmetrisch zur y-Achse ist, durch A (0/2) geht und den Tiefpunkt B (1/0) hat Leider habe ich gar kein Grundwissen ich habe in Mathe nie den Anschluss gefunden. Könnte mir das bitte einer mal Schritt für Schritt erklären wie ich die Funktion bestimme? Meine Ideen: (pure Ahnungslosigkeit) |
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| 22.09.2011, 19:50 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wir können es langsam zusammen erarbeiten. Ne Lösung ist aber nicht drin. Das widerspricht unserem Prinzip. Wie sieht denn eine allgemeine Funktion vierten Grades aus? |
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| 22.09.2011, 19:52 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Solche Funktionen, die symmetrisch zur y-Achse sind, nennt man gerade Funktionen. Also kannst du ja schon an Variablen sparen (man hätte nur noch 3). Und du hast 3 Aussagen. Finde sie! |
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| 22.09.2011, 19:56 | matheflop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Herzlich gerne ich wollte nur nicht eure Geduld auf die Probe stellen. Also die allgemeine lautet: f(x)= ax^4 + bx^3 + cx^2 +dx+e^0 Bis hier her richtig? Bitte habt Verständnis, ich habe wirklich sowas von 0 Ahnung... |
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| 22.09.2011, 20:02 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
f(x)= ax^4 + bx^3 + cx^2 +dx+e^0 Kleine Verbesserung: f(x)= ax^4 + bx^3 + cx^2 +dx+e Nicht e^0, sondern wenn dann ex^0 Ok, damit haben wir f(x). Nehmen wir uns die Info von Pascal zur Hilfe. Da gefällt mir wiki allerdings nicht. Schau besser hier: Klick mich Wie sieht unser vereinfachtes f(x) aus? |
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| 22.09.2011, 20:07 | matheflop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hm, f(x) = f(-x)? |
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| 22.09.2011, 20:10 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Yup sehr gut. Das gilt nur wann? Eine Idee wie wir das umsetzen können? |
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| 22.09.2011, 20:17 | matheflop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein leider gar keine Ahnung 
Die Seite hilft mir da auch nicht weiter. |
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| 22.09.2011, 20:24 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, da steht so viel wie f(x)=f(-x), was bedeutet: Klar? 
Kannst du den rechten Teil mal vereinfachen? Also, die Minuszeichen irgendwie verbauen?Weiterführende Erklärung: Wenn du eine gegebene Funktion f(x)=3x+2 hast, dann gibt das in der Klammer an, was x sein soll. Haben wir z.B.: f(3), dann heißt das f(5)=3*5+2. Oder f(a)=3*4+2. Oder eben wie oben f(-x)=3*(-x)+2. |
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| 22.09.2011, 22:03 | matheflop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mh, du meinst subtrahieren? Mit den X auf der anderen Seite?
Hier verstehe ich wieder nur Bahnhof. |
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| 22.09.2011, 22:08 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ne, betrachte nur jede Seite für sich. Die rechte soll aber nacher so aussehen wie die linke. Ist das möglich? Wenn meine Erklärung "irreführend" ist, dann vergiss sie
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| 22.09.2011, 22:12 | matheflop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mh, man könnte die 1. Ableitung bilden? |
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| 22.09.2011, 22:17 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das brauchen wir noch. Aber lieb wäre es mir, wenn wir uns erst der Symmetrie zuwenden. Dann fallen nämlich, wie von Pascal schon angesprochen, Terme weg, was uns die Sache ungemein erleichtert. Haben: Auflösen: Da gilt f(x)=f(-x) fallen b und d weg. Diese können nicht sein! Also: Wenn dies verstanden ist (bei Bedarf auch nochmals den Link anschaun), dann kommen wir zur Ableitung. |
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| 22.09.2011, 22:20 | matheflop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mh, also so recht habe ich das noch nicht verstanden. Ist das Minus auf der rechten Seite ein Tippfehler? Wie kommt es dass die Klammern mit den (-x) wegfallen? |
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| 22.09.2011, 22:31 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du hast +(-x) kannst du auch schreiben -x -> eine Plusklammer auflösen. Wenn du hast (-x)² oder (-x)^4 oder eine andere gerade Potenz, dann fällt das Vorzeichen weg. Wenn du hast -x oder (-x)^3 oder eine andere ungerade Potenz, so bleibt das Vorzeichen erhalten -> (-x)^3=-x^3. |
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| 22.09.2011, 22:34 | matheflop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay bis hierhin alles verstanden 
Weiter bitte. |
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| 22.09.2011, 22:35 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sehr gut
Dann waren wir also hier: Nun die Ableitung bitte
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| 22.09.2011, 22:38 | matheflop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, das dürfte ich noch hinkriegen. f(x)= 4ax^3 + 2cx 
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| 22.09.2011, 22:41 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit Bravour 
Ok, ein Schönheitsfehler: Ist nur ein kleiner Strich hat aber große Bedeutung! Ok, weiter. Wir haben 3 Unbekannte, wir brauchen also 3 Gleichungen. 1. A (0/2) 2. B (1/0) 3. Tiefpunkt B (1/0) So, stelle die 3 Gleichungen auf
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| 22.09.2011, 22:45 | matheflop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hm, ich kann es ja mal versuchen. Meinst du aber nicht eher f'(x)= 4ax^3 + 2cx? So mh 3 Gleichungen also. (0|2), 0 ist meine X-Koordinate. Also würde ich sagen: 1. A (0/2) --> f(0)=2 2. B (1/0) --> f(1)=0 3. Tiefpunkt B (1/0) --> f(1)=0 
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| 22.09.2011, 23:00 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ups, ja. Falsche Copy-Paste!
Die ersten beiden sind richtig. die dritte hingegen ist nicht ganz richtig. Da haben wir wieder uns Strichchen f'(1)=0. Dann schreib mal das f(...) anders. Den rechten Teil lasse
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| 22.09.2011, 23:02 | matheflop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bevor wir weitermachen wollte ich noch fragen wieso beim Tiefpunkt die Ableitung stehen muss? |
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| 22.09.2011, 23:06 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Ableitung gibt die Steigung an. Wenn du einen Tiefpunkt (oder Hochpunkt) hast, hast du automatisch auch die Steigung 0. Das ist einfach zu berechnen
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| 22.09.2011, 23:08 | matheflop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieso haben diese denn eine Steigung von 0? EDIT: Du musst echt Nerven aus Stahl haben, ich kann meine Anfängerfragen selber schon nicht mehr ertragen 
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| 22.09.2011, 23:09 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schau dir mal in einem Schaubild die Tangente an. Du weißt doch, die Tangente an ein Schaubild ist die Steigung. Die Tangenten bei Extrema sind immer parallel zur x-Achse -> Also haben die Steigung 0
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| 22.09.2011, 23:13 | matheflop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso okay, weiter gehts. |
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| 22.09.2011, 23:18 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kein Ding^^ Bin abgehärtet 
Die Gleichungen hast du aufgestellt? Bzgl. f(2) etc ersetzen? |
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| 22.09.2011, 23:20 | matheflop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mh, nein ich hab nicht verstanden was genau ich jetzt tun sollte. |
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| 22.09.2011, 23:24 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wir haben doch Wir wissen, dass x=0 sein soll und y=2 (für A(0|2)) Also: f(0)=a*0+c*0+e=2 Jetzt du für die Gleichung 2 und 3!
Beachte, dass du bei Gleichung 3 die Ableitung nehmen musst. |
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| 22.09.2011, 23:40 | matheflop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
f(x)= ax^4 + cx^2 + e f'(x)= 4ax^3 + 2cx 1. A (0/2) --> f(0)=2 2. B (1/0) --> f(1)=0 3. Tiefpunkt B (1/0) --> f'(1)=0 Die Gleichungen müssten also lauten: 1. f(0)=a*0+c*0+e=2 2. f(1)=a*1+c*1+e=0 3. f'(1)= 4a*1 + 2c*1
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| 22.09.2011, 23:44 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie ne eins!
Letzte Zeile noch "=0" anfügen
Na dann mal ran an den Speck. Wie lösen wir das? |
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| 22.09.2011, 23:47 | matheflop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, cool. 1. f(0)=a*0+c*0+e=2 2. f(1)=a*1+c*1+e=0 3. f'(1)= 4a*1 + 2c*1=0 Ich würde sagen ausrechnen?: 1. f(0)=a+c+e=2 2. f(1)=a+c+e=0 3. f'(1)= 4a + 2c
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| 22.09.2011, 23:49 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Erste Zeile hast en Fehler: a*0=0 -> 1. e=2 2. a+c+e=0 3. 4a+2c=0 Setze in der zweiten Gleichung das e en. Löse nach c auf. Dann machen wir weiter
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| 22.09.2011, 23:52 | matheflop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ganz langsam, ich verstehe wieder mal nicht. Was meinst du mit e en setzen und nach c auflösen? |
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| 22.09.2011, 23:58 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wir haben nun ein Gleichungssystem, d.h. alle Gleichungen hängen zusammen. Aus der ersten Gleichung weißt du direkt -> e=2. Deswegen kannst du alle "e"'s durch die 2 ersetzen. Damit ist das schon mal erleichtert. Dann machen wir weiter mit dem "Einsetzungsverfahren". D.h. wir lösen eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzen das in die weitere Gleichung ein! Wir haben in der letzten Gleichung dann nur noch eine Variable und können ganz leicht auflösen.
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| 23.09.2011, 00:00 | matheflop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1. e=2 2. a+c+2=0 3. 4a+2c=0 ---> 2. a+2=c |
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| 23.09.2011, 00:04 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du bringst das c auf die andere Seite. Das heißt du willst es links weghaben. Deswegen machen wir "-c" auf der linken Seite. Denn -c+c=0. Was wir links machen , machen wir auch rechts! ---> 2'. a+2=-c Dann noch beide Seiten mit (-1) multiplizieren. Weil wir wollen ja rechts "+c" stehen haben und müssen links aber das gleiche machen wie rechts! 2''. -a-2=c
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| 23.09.2011, 00:13 | matheflop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah, richtig, verdammt 
2. a+c+2=0 2'. a+2=-c 2''. -a-2=c 3. 4a+2c=0 3'. 4a-a-2-a-2=0 3''. 2a-4=0 /+4 3'''. 2a=4 /:2 3''''. a=2 Oder habe ich gerade nur Mist erzählt?
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| 23.09.2011, 00:17 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, ich bin ganz platt. Besser hätte ich es auch nicht hinbekommen
Wir haben a=2 und e=2. Fehlt uns noch das c. Ich sag mal nix und du sagst mir wie wir das rausbekommen
Anmerkung: Besser wäre hier: 3. 4a+2c=0 3'. 4a+2(-a-2)=0 zu schreiben. Denn wenn da 10c steht hättest du viel zu tun
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| 23.09.2011, 00:28 | matheflop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hast du Recht, danke.
Hm, ich würde sagen -4? |
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