Geeigneten Basiswechsel durchführen

23.09.2011, 17:21	martha.1981	Auf diesen Beitrag antworten »
Geeigneten Basiswechsel durchführen Ich habe auf einer Probeklausur der Uni München folgende Aufgabe gefunden: Bringe die Matrix $\begin{eqnarray} A:=\begin{pmatrix} 4 & 7 & 1 & 0 \\ 7 & 1 & 1 & 7 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ durch geeigneten Basiswechsel auf die Form $\begin{eqnarray} A':=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Gib die Basis an. Ich muss zugeben, dass ich arge Problem mit dem Basiswechsel habe, aber vielleicht kann jemand mal diese Aufgabe mit mir zusammen lösen. meine unbedarfte Herangehensweise würde wäre jetzt eine Basis B, des $\begin{eqnarray} \mathbb{K}^4 \end{eqnarray}$ zur Matrix A heranzuziehen und irgendwie dann eine Koordinatentransformationsmatrix T von der Basis B', die der Basis A' zugrundeliegt , zur Basis B zu erstellen. Dann könnte ich mit A'=inv(T)AT machen. Hab' aber keine Basen. Wie geht man vor? m.
23.09.2011, 17:51	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sind denn deine Vorkenntnisse? $\begin{eqnarray} A' \end{eqnarray}$ ist die Jordan-Normalform von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Es gibt einen Algorithmus, mit dem man die zugehörige Jordanbasis bestimmen kann. Kommen dir diese Begriffe bekannt vor? Falls ja, so lautet der Plan, das charakteristische oder Minimalpolynom zu bestimmen und dann die Haupträume zu berechnen. Das ist dann auch schon der aufwändigste Teil. Edit: Hast du dich vielleicht verschrieben? Die von dir angegebene Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ hat über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ ein irreduzibles charakteristisches Polynom. Ist die Matrix möglicherweise über einem anderen (endlichen?) Körper aufzufassen?
25.09.2011, 14:25	martha.1981	Auf diesen Beitrag antworten »
hm, davon steht nicht in der aufgabenstellung. http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~k.../lai/prokla.pdf Aufgabe 6. Ist auch n blödes Blatt, trotzdem es von der erhwürdingen Uni München stammt. Prinzip ist, klar: Aus der JNF lässt sich einziger EW 1 mit alg. Vielfachheit 4 ablesen. Char.Pol. zerfällt deshalb natürlich komplett in Linearfaktoren (JNF ist trigonalmatrix). Bring A mithilfe dieser Informationen auf die JNF und siehe, dass die JNF von A gleich A'. Bestimme die Tranformationsmatrix die A in die JNF überführt. Aber ich hab' noch Fragen zur JNF. Vielleicht kannst Du mir dabei noch helfen: Wenn ich den Hauptraum $\begin{eqnarray} ker(A-\lambda I)^l \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} ker(A-\lambda I)^l=ker(A-\lambda I)^{l-1}\oplus W_l=ker(A-\lambda I)^{l-2}\oplus W_{l-1}\oplus W_l=\hdots = ker(A-\lambda I)^0\oplus W_1\oplus \hdots \oplus W_l \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = W_1\oplus \hdots \oplus W_l \end{eqnarray}$ zerlegt habe, nehme ich jeweils den Basisvektor der $\begin{eqnarray} W_i \end{eqnarray}$ um die Tranformationsmatrix zu erstellen (as ist okay, das die Dim vom Hauptraum gleich l ist und deshalb die $\begin{eqnarray} W_i \end{eqnarray}$ alles eindimensional sind). Aber ich verstehe nicht ganz, warum es auf die Reihenfolge ankommt? Was ja offensichtlich der Fall ist. Nehme ich die Reihenfolge w_1 ... w_l dann sind die einsen in der JNF oben, andersrum sind sie unten. Okay, aber durcheinandermischen liefert nicht die JNF. Wieso? Ich muss auch ehrlich gestehen, ich verstehe nicht, was die Jordankästchen letztlich aussagen. HILFE! martha
25.09.2011, 19:23	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme auch bei wiederholter Rechnung darauf, dass das chrakteristische Polynom der angegebenen Matrix über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ irreduzibel ist. Den Körper, über dem die Matrix zu betrachten ist, nicht anzugeben finde ich im Übrigen reichlich unprofessionell. Das heißt bei dieser Matrix wird jeder Versuch des Trigonalisierens scheitern. Ob man die Einsen über oder unter der Hauptdiagonalen hat, ist Konvention in der jeweiligen Vorlesung. Warum man nicht "mischen" kann: nehmen wir $\begin{eqnarray} J:=\begin{pmatrix}1&\\1&1 \\ &1&1 \\ &&1&1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als Beispiel. In Koordianten bezüglich der Jordanbasis ist dann $\begin{eqnarray} (J-1)e_1=e_2 \end{eqnarray}$ , d.h. der Koordinantenvektor des ersten Basisvektors geht auf den zweiten Basisvektor. Das geht so weiter, sodass wir eine Kette von Hauptvektoren ("verallgemeinerten Eigenvektoren") zum Eigenwert 1 erhalten. $\begin{eqnarray} (J-1)^3 e_1 \end{eqnarray}$ ist dann in der Tat ein Eigenvektor zum Eigenwert 1. Man muss also die Reihenfolge der Vektoren so wählen, dass sie absteigende "Länge" haben (Dieser Begriff ist wohl sehr spezifisch für die Vorlesung, die ich gehört habe. Andere Vorlesungen können ihn anders bezeichnen. Gemeint ist die kleinste Zahl $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} (A-\lambda)^r v = 0 \end{eqnarray}$ für eine Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ und Hauptvektor $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ ). Dadurch entsteht dann diese schöne Bandform. Vertauscht man die Vektoren untereinander, dann geht alles in die Brüche, wie du vielleicht schon gesehen hast. Trotzdem kann man blockweise vertauschen, um die Blöcke zu vertauschen, und man kann die Reihenfolge der Vektoren innerhalb der Blöcke komplett umkehren, um die Einsen von oben nach unten (oder umgekehrt) zu bringen. Was sagen die Jordankästchen noch aus: Die Anzahl der Jordankästchen zu einem gegebenen Eigenwert ist die geometrische Vielfachheit dieses Eigenwertes, i.e. die Dimension des Eigenraums, denn ein Jordanblock liefert einen Eigenvektor in Form des ersten (bei Einsen oberhalb der Diagonalen) oder letzten Standardeinheitsvektors (bei Einsen unterhalb der Diagonalen). Die aufaddierten Längen aller Jordanblöcke sind die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts. Die Größe des größten Jordanblocks zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist der Exponent des Faktors $\begin{eqnarray} (X-\lambda) \end{eqnarray}$ im Minimalpolynom der betrachteten Matrix, da die Matrix, die durch Subtrahieren des $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ -fachen der Einheitsmatrix vom Jordanblock zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ entsteht, nilpotent ist. Ich hoffe das hilft dir schonmal weiter. Das Beispiel, das du rechnen möchtest, ist wie gesagt für die Tonne. Es gibt aber viele Beispiele hier im Forum, die sich leicht mit der Suchfunktion finden lassen.

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