Vereinigung von Unterräumen

24.09.2011, 18:12

Pascal95

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Vereinigung von Unterräumen

Hallo,

ich möchte folgendes beweisen:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum sowie $\begin{eqnarray*} U_1,\,U_2 \end{eqnarray*}$ Untervektorräume von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .

Die Vereinigung $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 \end{eqnarray*}$ ist genau dann ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} U_1 \subseteq U_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} U_2 \subseteq U_1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Versuch

" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ ":
Sei also $\begin{eqnarray*} U_1 \subseteq U_2 \end{eqnarray*}$ :
Dann ist $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2=U_2 \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung ein Vektorraum.

oder $\begin{eqnarray*} U_2 \subseteq U_1 \end{eqnarray*}$ :
Dann ist $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2=U_1 \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung ebenfalls ein Vektorraum.

So einfach mir auch diese Richtung fiel, umso schwerer die andere Richtung.
Man muss also zeigen:
$\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2\ \text{ist VR}\ \Rightarrow\ U_1 \subseteq U_2\lor U_2 \subseteq U_1 \end{eqnarray*}$ .
Dazu dachte ich schon an einen Widerspruchsbeweis. Es gilt dann ja auch:
$\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2\ \text{ist kein VR}\ \Leftarrow\ U_1 \not\subseteq U_2\land U_2 \not\subseteq U_1 \end{eqnarray*}$ (Kontraposition).

Allerdings kann ich damit auch nichts anfangen...

Vielen Dank, wenn mir jemand einen Tipp geben möchte smile

smile

24.09.2011, 18:32

galoisseinbruder

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Du kannst Dir das oder hier o.B.d.A. sparen (einfach umbennen von $\begin{eqnarray*} U_1,U_2 \end{eqnarray*}$ ).
Der kontrapositive Ansatz ist gut, nimm mal ein $\begin{eqnarray*} x \in U_1 \backslash U_2 \end{eqnarray*}$
und ein $\begin{eqnarray*} y \in U_2 \backslash U_1 \end{eqnarray*}$ , dann kannst Du zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} u:=x +y \notin U_1 \cup U_2 \end{eqnarray*}$

24.09.2011, 18:39

Pascal95

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Hallo.

Zitat:

Original von galoisseinbruder
Du kannst Dir das oder hier o.B.d.A. sparen (einfach umbennen von $\begin{eqnarray*} U_1,U_2 \end{eqnarray*}$ ).

Ich hoffe, dass ich das richtig verstehe.
Daher betrachte ich nun nur die eine Möglichkeit...

Ist die Aussage dann gleichwertig zu:
$\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2\ \text{ist kein VR}\ \Leftarrow\ U_1 \not\subseteq U_2 \end{eqnarray*}$ ?

24.09.2011, 18:44

galoisseinbruder

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Sorry hab´mich etwas unglücklich ausgedrückt; das o.B.d.A. funktioniert hier nur für die Hinrichtung. Für meinen Beweisvorschlag der Rückrichtung brauch ich ja beide.

24.09.2011, 18:48

Pascal95

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Ok, aber ich hoffe, dass ich es richtig verstanden habe:

$\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2\ \text{ist VR}\ \Rightarrow\ U_1 \subseteq U_2 \end{eqnarray*}$ .

Falls aber nicht $\begin{eqnarray*} U_1 \subseteq U_2 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} U_2 \subseteq U_1 \end{eqnarray*}$ dann kann man $\begin{eqnarray*} U_1,\,U_2 \end{eqnarray*}$ umbenennen und die Aussage ist trotzdem richtig.

24.09.2011, 18:53

galoisseinbruder

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Ich sehe ich hab´hier unnötig Verwirrung gestiftet.
o.B.d.A. und auch o.E. sind Ausdrücke die man im Beweis verwendet um sich Fallunterscheidungen zu sparen, in denen man das selbe wieder beweist.
Aber nicht in der Aussage.

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24.09.2011, 18:58

Pascal95

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Aha, ok...

Man möchte jetzt $\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2\ \text{ist kein VR}\ \Leftarrow\ U_1 \not\subseteq U_2\land U_2 \not\subseteq U_1 \end{eqnarray*}$ beweisen.

Es ist also $\begin{eqnarray*} U_1\setminus U_2\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2\setminus U_1\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ , da ja eben keiner eine Teilmenge der anderen ist.

Das muss ich mir als Anfänger erst mal klar machen. Damit existieren solche $\begin{eqnarray*} x,\, y \end{eqnarray*}$ , von denen du sprichst...

Nun schau ich mir die Summe $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ an.
Wenn $\begin{eqnarray*} x,\, y \end{eqnarray*}$ in einem (gleichen) Vektorraum liegen, so ist $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ ebenfalls drin. Aber hier hab ich die Prämisse ja gar nicht.

24.09.2011, 19:04

galoisseinbruder

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Mit den ersten 3 zeilen hast Du vollkommen recht.
Ich hab x+y nicht umsonst u genannt; Nehmen wir mal $\begin{eqnarray*} u \in U_1 \cup U_2 \end{eqnarray*}$ an und schauen uns dann z.B. u-x an.

24.09.2011, 19:10

Pascal95

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Das würde soviel wie $\begin{eqnarray*} y \in U_1 \cup U_2 \end{eqnarray*}$ bedeuten...

24.09.2011, 19:13

galoisseinbruder

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$\begin{eqnarray*} u \in U_1 \cup U_2 \Rightarrow u \in U_1 \vee u \in U_2 \end{eqnarray*}$
und jetzt Fallunterscheidung.

24.09.2011, 19:21

Pascal95

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Ja, diese Aussage ist mir bewusst.

Wenn $\begin{eqnarray*} u\in U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ ...

Fall 1) $\begin{eqnarray*} u\in U_1 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} u-x \in U_1 \end{eqnarray*}$ (muss ja sein, weil u und x in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ sind), dann wäre $\begin{eqnarray*} y\in U_1 \end{eqnarray*}$ . Widerspruch ?

24.09.2011, 19:24

galoisseinbruder

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genau, da $\begin{eqnarray*} y \in U_2 \backslash U_1 \end{eqnarray*}$ .
Fall 2?

24.09.2011, 19:42

Pascal95

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Jetzt nehmen wir an, es wäre $\begin{eqnarray*} u\in U_2 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} u-y\in U_2 \end{eqnarray*}$ , weil auch y als in $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt war.

Allerdings folgt daraus $\begin{eqnarray*} u-y=x\in U_2 \end{eqnarray*}$ , wobei wir doch $\begin{eqnarray*} x\in U_1\setminus U_2 \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt haben!

Also auch Widerspruch!

24.09.2011, 19:44

galoisseinbruder

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Und damit haben wir´s.

24.09.2011, 19:45

Pascal95

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Danke sehr!

Eigentlich eine einfache Sache !

Ich werde das nochmal zusammenstellen und als PDF hochladen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wink

26.09.2011, 16:49

Pascal95

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Falls es jemanden interessiert...

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