Automorphismus bei ganzen Zahlen mit Verknüpfung Modulo n

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Flauzz Auf diesen Beitrag antworten »
Automorphismus bei ganzen Zahlen mit Verknüpfung Modulo n
Meine Frage:
Für die Menge der ganzen Zahlen von 1 bis 4 {1,2,3,4} und der Verknüpfung modulo +5 ist ein Automorphismus gegeben.

h: Z5(ohne 0) -> Z5(ohne 0): n -> (1, falls n = 1), (3, falls n = 2), (2, falls n = 3) und (4, falls n = 4)

Die Frage ist: Wo setzt man die Werte für n ein?
Wie muss die Gleichung ausseihen?


Meine Ideen:
n + x mod 3 = 1,2,3 oder 4 ?
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast ja folgende Abbildung gegeben, die ein Automorphismus ist:



ist zweifellos aus gegeben, wie man aus der Abbildungsvorschrift es rauslesen kann.

Dasselbe gilt übrigens auch für die andere gegebene Abbildung. Da ist aus .


Ibn Batuta

Edit: Kommentar entfernt.
flauzz777 Auf diesen Beitrag antworten »
n = ?
Hallo,

schon mal vielen Dank für die schnelle Antwort.

Was Ich leider nicht verstehe ist wie man auf die Werte kommt wenn n eingesetzt wird? :-(
Bzw. wo genau setzt man n ein?
Wie müsste denn die Gleichung diesbezüglich aussehen?


Vielen Dank schon mal im Vorraus ;-)
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Bleiben wir bei Aufgabe 3. Hier ist aus und es gilt

Also ist , und . Ähnlich funktioniert es in Aufgabe 4.


Ibn Batuta
flauzz777 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm Ich steh irgendwie auf dem Schlauch:-(

Wie kommt man denn darauf was für h(0),h(1),h(2), usw gilt?

Tut mir Leid is bestimmt ne total banale Geschichte aber Ich erkenne es gerade nicht?:-(
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast diese Abbildungsvorschrift gegeben:



ist aus . Wie sieht denn die Menge konkret aus?


Ibn Batuta
 
 
flauzz777 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Menge Z3 ist {0,1,2} .

Mein Problem liegt daran das Ich nicht sehe warum zum Beispiel h(1) = 2 gibt. :-(
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das steht doch alles schon in der Definition von . Du schreibst es ja nur anders auf.

Im übrigen ist bei beiden Aufgaben der Übergang zum Inversen in der jeweiligen Gruppe, bei Nummer 3 also und bei Nummer 4 schließlich
flauzz777 Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem Übergang zum Inversen könnte man mir das eventuell noch näher erklären?

Was wären denn die Werte für bspw. aus Z4 oder Z7?


P.S. Nochmals vielen Dank das Ihr mir so schnell weiterhelfen könnt! :-)
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du eigentlich schon verstanden, wie du auf z.B. in Aufgabe 3 kommst?

Die Inversen kannst du direkt nachrechnen.

ist eine additive Gruppe mit als neutralem Element. In gilt: und . Somit bildet man hier von ab.

(Es gilt übrigens: ein Homomorphismus und damit ein Automorphismus abelsch, aber das nur am Rande.)

Analog funktioniert das für die multiplikative Gruppe auch.


Ibn Batuta

Edit wegen LaTeX-Korrektur.
flauzz777 Auf diesen Beitrag antworten »

Oder allgemeiner gefragt

wenn Ich folgenden Automorphismus gegeben hab.

\mathbb Z{x} mit der Verknüpfung Modulo + x.

Wie berechne Ich dann die Werte h(0) bis h(x-1) aus?
flauzz777 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok als für \mathbb Z{3} habe Ich es soweit verstanden das gilt:

-0 mod 3 = 0
-1 mod 3 = 2
-2 mod 3 = 1

Aber bei \mathbb Z{5}

sei x -> -x

wäre doch dann:

-1 mod 5 = 4
-2 mod 5 = 3
-3 mod 5 = 2
-4 mod 5 = 1

oder sei x -> x^{-1}

1^{-1} mod 5 = 1
2^{-1} mod 5 = 0.5
3^{-1} mod 5 = 0.3333...
4^{-1} mod 5 = 0.25


Oder wo hab Ich jetzt da meinen Fehler? :-(
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

ist nicht dasselbe wie , denn letztere ist die Einheitengruppe und multiplikativ.

Ferner sind wir nicht in , sondern in . mod wird oftmals von Informatikern bei Berechnungen in gebraucht.

Und das hier ...

Zitat:
oder sei x -> x^{-1}

2^{-1} mod 5 = 0.5
3^{-1} mod 5 = 0.3333...
4^{-1} mod 5 = 0.25


... ist ohnehin Unsinn. Das Inverse zu 2 in ist 3, denn 2*3=1.

Bin jetzt off. Werde später dir helfen.


Ibn Batuta
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ibn Batuta
Ferner sind wir nicht in , sondern in .


Entschuldigung wenn ich kurz störe, aber wo siehst du denn da einen Unterschied? Die Menge mit Addition und Multiplikation mod 3 ist doch als Ring bzw. sogar als Körper isomorph zum Faktorring . Dabei halte ich letzteres sogar für die sinnvollere Schreibweise, da auch die Bezeichnung für den Ring der p-adischen ganzen Zahlen (Komplettierung von bzgl. der p-adischen Bewertung) ist und außerdem die Bezeichnung sofort klarmacht, um was es geht (Faktorring nach einem Ideal - Faktorstrukturen sind ohnehin von ungemeiner Wichtigkeit und daher im Mathestudium unverzüglich einzuführen), während ja erst definiert werden muss.
flauzz777 Auf diesen Beitrag antworten »

Au Auweija

da muss Ich mir also noch das Thema Ringe, Körper und Co. anschauen.

Ich wusste leider nicht das Z*5 was anderes ist wie Z5 :-(

Bei additativen Gruppen ist das neutrale Element 0
bei multiplikativen Gruppen muss Ich mich erst noch einarbeiten.


Vielen Dank das Ihr mir soweit schon mal geholfen habt.
Werde mich nun mal mit den Rest meines Matheskriptes auseinandersetzen damit Ich das schnell lösen kann. :-)
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Entschuldigung wenn ich kurz störe, aber wo siehst du denn da einen Unterschied? Die Menge mit Addition und Multiplikation mod 3 ist doch als Ring bzw. sogar als Körper isomorph zum Faktorring .


Du hast schon recht. Diese Isomorphie ist mir natürlich bekannt.

Auf der einen Seite war ich pingelig genug, dass ich Isomorphie (in diesem Fall) nicht mit Gleichheit setze, auf der anderen Seite erwähne ich diese Isomorphie nicht. Mein Fehler.


Ibn Batuta
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