Satz von Gauß

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Kody Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Gauß
Hallo, habe mal versucht folgendes nachzurechnen:



Aufgabe: "Sei . Das Gebiet: ."

Meine Parametrisierung:
Zuerst divf:

Dort bekomme ich und mit Hilfe der Parametrisierung x=rcost (dabei noch Multiplikation mit "r" wegen der Funktionsdeterminante):


Wenn ich allerdings versuche, komme ich nur auf :


Jetzt stellt sich mir nur noch die Frage, welches Ergebnis richtig ist, damit ich auf Fehlersuche gehen kann...

Besten Dank
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Gauß
Zitat:
Original von Kody



Wie kommst du auf dieses Integral?

In dem oberen Integral verwirrt mich das "ds"...
Kody Auf diesen Beitrag antworten »

Von P(r,t) ausgehend mache ich mir die beiden Tangentialvektoren und berechne von diesen das Kreuzprodukt:

Tr=(cost, sint, 2r, Tt=(-rsint, rcost, 0).

Kreuzp: (-2r²cost,-2r²sint,r).

Jetzt also:

edit zu dem "ds": Es ist ja . Wenn man für x=rcost und y=rsint einsetzt, ergibt dies ja r². Also bewegt sich z zwischen r² und 1. Bei der Integration wird dann das dxdydz durch die Parametrisierungen ersetzt. Und für dz habe ich dann ds genommen.
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Gauß
Hallo Kody!

Ich habe mich an deiner Aufgabe versucht.

, Satz von GAUSS im

Links steht das Integral des Vektorfeldes , wobei über den Rand des Gebietes , also über eine Fläche im , integriert wird.

Rechts steht das Integral der Divergenz von über das Gebiet , also ein Integral über ein Volumen.

Als Integrationsgebiet habe ich das Volumen, das auf der Unterseite durch das Paraboloid und auf der Oberseite durch eine ebene Kreisfläche mit Radius 1 begrenzt wird.

Ich habe wie du auf Zylinderkoordinaten transformiert und erhalte denselben Integranden für die rechte Seite (die linke ist mir zu stachelig!). Für das Gebiet erhalte ich wie du:



Mit diesen Grenzen erhalte ich das Resultat , in Übereinstimmung mit dem deinigen.

Wenn ich Zeit finde, werde ich mich auch mit der linken Seite beschäftigen. Allerdings vermute ich, vielleicht zu Unrecht, dass die Berechnung des Normaleneinheitsvektors etwas unschön wird.

Gruss yeti
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Gauß
Zitat:
Original von Kody
Hallo, habe mal versucht folgendes nachzurechnen:



Aufgabe: "Sei . Das Gebiet: ."

Meine Parametrisierung:


Erstmal bis dahin: was ist denn hier parametrisiert ? Auf jeder "Höhe" z handelt es sich hier um einen Kreis, so dass die Parametrisierung die Oberfläche eines Paraboloids bildet.

Auch eine Funktionaldeterminante lässt sich hiervon nicht berechnen.

Grüße Abakus smile

EDIT: Paraboloid (die 3-te Koordinate geht ja quadratisch ein)
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Gauß
@Abakus:

Ja, diese sog. Parametrisierung ist mir auch nicht geheuer. Trotzdem kommt Kody auf dasselbe Resultat, wie ich (für ).

Gruss yeti
 
 
Kody Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, also irgendwie muss da sowohl in meinem Kopf als auch in meinen Aufzeichnungen mist gebaut haben Augenzwinkern

Ich fang nochmal mit einer neuen Parametrisierung an:

.
Die Funktionsdet. davon ist =r. Soweit korrekt?

divf bleibt = x².

Integration darüber mit obiger Parametrisierung ergibt
.

Hoffe so stimmt's.

Allerdings weiß ich jetzt nicht mehr, wie ich für die andere Variante meine Tangentialvektoren machen kann, weil meine Parametrisierung jetzt ja 3 veränderliche hat, ich aber nur das Kreuzprodukt 2er Vektoren brauche?

Danke
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Kody!

Nur noch schnell, dann muss ich abhauen. Für eine Fläche im gilt:

. Genügt das fürs erste?

Gruss yeti
Kody Auf diesen Beitrag antworten »

Also genügt es, mir die Tagentialvektoren Tr und Tt zu machen?
(oder war das jetzt ein Hinweis darauf dass meine Param. wieder falsch ist?... verwirrt )

Gruß
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Rechnung ist wenig nachvollziehbar, wenn du nur die Ergebnisse angibst. Wie sehen die Rechenschritte aus ?

Es ist bei der Berechnung des Flusses durch die Oberfläche ansonsten auch der Fluss durch die begrenzende obere Fläche - den Deckel - zu berücksichtigen.

Um den Normalenvektor zu berechnen ist es nötig, zunächst die Oberfläche des betrachteten Volumens zu parametrisieren (yeti hat schon darauf hingewiesen).

Grüße Abakus smile
Kody Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kody
Ich fang nochmal mit einer neuen Parametrisierung an:

.
Die Funktionsdet. davon ist =r. Soweit korrekt?

divf bleibt = x².

Integration darüber mit obiger Parametrisierung ergibt
.



Also: da ich ja das berechnen will, dV=dxdydz und divf=x² ist, integriere ich also über . Setze ich für x=rcost ein, wird mein "dxdydz" zu "r*drdtds". Das r kommt aus der Funktionsdeterminante. Nun habe ich , mit den entsprechenden Grenzen durch die Parametrisierung wie oben zitiert... Soweit mein Rechenschritt, ich möchte ja nur wissen ob's stimmt bzw. wo mein Fehler liegt... geschockt
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kody
Soweit mein Rechenschritt, ich möchte ja nur wissen ob's stimmt bzw. wo mein Fehler liegt... geschockt


Idee und Ergebnis sehen soweit richtig aus. In der Darstellung stecken eine Reihe von Unklarheiten, zB:


Zitat:
Integration darüber mit obiger Parametrisierung ergibt
.


Hier lassen sich Integrationsgrenzen und Integrationsvariable nicht richtig zuordnen (das innere Integral gehört zur Integrationsvariable r).

Grüße Abakus smile
Kody Auf diesen Beitrag antworten »

achso, ich dachte wenn ich an das Integral t=0 etc. dranschreibe, dann heißt dies automatisch dass damit das Integral über dt gemeint ist. Dann werd ich demnächst mal auf die Reihenfolge achten, danke!

Aber was meinstest du jetzt mit dem Deckel? Hab ich mein Endergebnis noch gar nicht und muss noch weiterrechnen?

Danke
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Gauß
Hallo Kody!

Ich habe mich noch einmal mit dieser Aufgabe befasst. Zur besseren Übersicht zitiere ich einen Teil meines früheren Beitrags:

Zitat:
Original von yeti777

, Satz von GAUSS im

Links steht das Integral des Vektorfeldes , wobei über den Rand des Gebietes , also über eine Fläche im , integriert wird.

Rechts steht das Integral der Divergenz von über das Gebiet , also ein Integral über ein Volumen.

Als Integrationsgebiet habe ich das Volumen, das auf der Unterseite durch das Paraboloid und auf der Oberseite durch eine ebene Kreisfläche mit Radius 1 begrenzt wird.




Ich habe sowohl die linke Seite, als auch die rechte nachgerechnet. Dabei erhielt ich exakt die gleichen Integranden wie du und demzufolge auch dieselben Resultate (Divergenz, vektorielles Oberflächenelement = Flächennormale, Integrationsgrenzen, etc. identisch mit deinen Resultaten)!

Resultat links (Integration über ) :

Resultat rechts (Integration über ) :

Ich weiss nicht, wo der Fehler steckt unglücklich . Voraussetzungen des Divergenzsatzes von GAUSS nicht erfüllt? Fehlüberlegung bei der Transformation kartesisch -> zylindrisch? Bin am Anschlag!

@Abakus: Ich verstehe deinen Einwurf nicht. Nach dem Satz von FUBINI ist doch die Reihenfolge der Integration beliebig verwirrt . Kannst du uns einen konkreten Hinweis geben, warum sich die beiden Resultate um den Faktor 2 unterscheiden?

PS. Ich habe die Rechnung noch mit gemacht (nicht ). Dann erhalte ich , resp. .

Gruss yeti

Nachtrag: Bei meiner obigen Berechnung des Oberflächenintegrals über den "Topf" = Paraboloid schaut der Flächennormalenvektor nach INNEN. Wenn er nach AUSSEN schaut, ist das Resultat . Die Integration über den kreisförmigen Deckel mit nach AUSSEN schauendem Flächennormalenvektor ergibt , sodass sich für den Gesamtfluss Null ergibt. Die Verwirrung wird also nicht kleiner verwirrt .
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kody
Aber was meinstest du jetzt mit dem Deckel? Hab ich mein Endergebnis noch gar nicht und muss noch weiterrechnen?


Hast du eine ungefähre Vorstellung von dem Integrationsbereich ? Wie sieht die Oberfläche aus und was bildet den Rand ganz oben ? (das ist der "Deckel" in diesem Fall).

Nach dem Gauss'schen Integralsatz musst du den Fluss durch die gesamte Oberfläche des Integrationsbereiches berechnen.


Zitat:
Original von yeti777
@Abakus: Ich verstehe deinen Einwurf nicht. Nach dem Satz von FUBINI ist doch die Reihenfolge der Integration beliebig verwirrt .


Hier hängen die Integrationsgrenzen teilweise von vorherigen Integrationsvariablen ab, völlig beliebig darf hier nicht vertauscht werden. Ansonsten lässt sich mit Fubini keine falsche Schreibweise rechtfertigen (so aufgeschrieben ist es schlicht falsch).


Zitat:
Kannst du uns einen konkreten Hinweis geben, warum sich die beiden Resultate um den Faktor 2 unterscheiden?

PS. Ich habe die Rechnung noch mit gemacht (nicht ). Dann erhalte ich , resp. .

Gruss yeti

Nachtrag: Bei meiner obigen Berechnung des Oberflächenintegrals über den "Topf" = Paraboloid schaut der Flächennormalenvektor nach INNEN. Wenn er nach AUSSEN schaut, ist das Resultat . Die Integration über den kreisförmigen Deckel mit nach AUSSEN schauendem Flächennormalenvektor ergibt , sodass sich für den Gesamtfluss Null ergibt. Die Verwirrung wird also nicht kleiner verwirrt .


Du bist nahe an der Lösung. Den Normalenvektor würde ich nach außen orientieren, so dass für den Fluss durch die Paraboloidoberfläche herauskommen sollte.

Den Fluss durch den Deckel oben musst du noch nachrechnen, ich komme auf etwas anderes.

Grüße Abakus smile
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Abakus!

Danke für die Hilfe! Paraboloid: Klar! Hingegen kann ich den Fehler beim "Deckel" nicht finden. Hier mein Rechengang:

Flächennormalenvektor des Deckels: (steckt hier der Fehler?)

Vektorfeld:

Funktionaldeterminante:

Fächenintegral des Vektorfeldes:

verwirrt verwirrt verwirrt

Gruss yeti


Heureka! Währenddem ich auf meinen Post schaute, habe ich den Fehler gesehen. Die z-Komponente des Feldes auf dem "Deckel" ist nicht , sondern , weil ist. Damit ergibt sich der Wert des Integrals zu und mit ergibt sich der Gesamtfluss zu:

und damit kann yeti wieder ruhig schlafen und der alte GAUSS in Frieden ruhen Augenzwinkern .

Nochmals Dank für deine Hilfe, Abakus!

Gruss yeti
Kody Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, das mit dem Normalenvektor beim Paraboloid war ein guter Tipp. Wollte grade meine Rechnung zu den posten, aber der yeti war doch schneller.
Also vielen Dank für die Hilfe, so langsam macht das alles Sinn hier Wink
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Klasse, damit habt ihr es Freude .

Was noch zu tun bleibt, ist die Lösung richtig schön aufzuschreiben. Dabei ordnet sich die Rechnung und der Lösungsweg noch etwas.

Grüße Abakus smile
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