Trägheitsmoment eines Kreiskegels

25.09.2011, 14:01	Chucky1802	Auf diesen Beitrag antworten »
Trägheitsmoment eines Kreiskegels Moin moin, könnt ihr mir helfen? Ich hab da ne Aufgabe, aber ohne Lösungen und ich weiß nicht wie ich die Vorgaben richtig parametrisiere. Bestimmen Sie das Trägheitsmoment des geraden Kreiskegels $\begin{eqnarray} K=\left\{ (x,y,z) : 0\leq z \leq h, x^{2} +y^{2} \leq \left(\frac{az}{h}\right)^{2}\right\} \end{eqnarray}$ bezüglich der z-Achse Die Formel dazu ist $\begin{eqnarray} T = \int_K \! r^{2}(\vec{r})p(\vec{r}) \, d(x,y,z) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} T = r(\vec{r}) \end{eqnarray}$ als Abstand des Punktes $\begin{eqnarray} \vec{r} \end{eqnarray}$ zur Drehachse und $\begin{eqnarray} p(\vec{r}) \end{eqnarray}$ ist die Massendichte mit $\begin{eqnarray} p=1 \end{eqnarray}$ Könnt ihr mir sagen, wie ich die Parametrisierung des Integrals nehme ? Ich habe folgendes versucht $\begin{eqnarray} T = \int_{z=0}^h \! \int_{r=0}^\frac{az}{h} \! \int_{\phi=0}^{2\pi} \! \begin{pmatrix} rcos(\phi) \\rsin(\phi) \\ z \end{pmatrix} \, d(x,y,z) \end{eqnarray}$ Liebe Grüße Chucky
26.09.2011, 00:30	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Zylinderkoordinaten sollten helfen. Bestimme dazu erstmal für einen beliebigen Punkt den minimalen Abstand zur z-Achse. Schliesslich willst du über diese doch integrieren. mfg
26.09.2011, 11:57	Chucky1802	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe gerade gelesen dass man noch die "FunktionalDeterminante" !? von den Zylinderkoordinaten bilden muss und diese mit ins Integral schreibt. Die Grenzen sind eigentlich richtig oder nicht ? $\begin{eqnarray} T = \int_{z=0}^h \! \int_{r=0}^\frac{az}{h} \! \int_{\phi=0}^{2\pi} \! \begin{pmatrix} rcos(\phi) \\rsin(\phi) \\ z \end{pmatrix}r \, d(x,y,z) \end{eqnarray*}$ Gruß Chucky
26.09.2011, 15:01	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemein ist das Trägheitmoment $\begin{eqnarray} T=\int \! r^2 \, dm \end{eqnarray}$ , wobei r der Abstand zur Drehachse ist (nicht der Abstand zum Nullpunkt). Gilt für die Dichte speziell $\begin{eqnarray} \rho=\tfrac{dm}{dV}=1 \end{eqnarray}$ , so folgt für das Differenzial durch Umstellen $\begin{eqnarray} dm=dV \end{eqnarray}$ , so dass sich das Trägheitsmoment vereinfacht zu $\begin{eqnarray} T=\int \! r^2 \, dV \end{eqnarray}$ . In Zylinderkoordinaten lautet das Volumenelement $\begin{eqnarray} dV=r\,\,dr d\phi dz \end{eqnarray}$ . Der Kegel steht auf der Spitze und hat den (variablen) Radius $\begin{eqnarray} r=\tfrac{az}{h} \end{eqnarray}$ . Deshalb sind die Integrationsgrenzen wie folgt zu wählen: $\begin{eqnarray} T=\int_{z=0}^{h} \left ( \int_{r=0}^{\frac{az}{h}} r^3 \left ( \int_{\phi=0}^{2\pi} d \phi \right ) dr \right ) dz \end{eqnarray}$ Der Intergrand r³ entsteht durch das Produkt aus dem ursprünglichen Integranden r² und der Funktionaldeterminante r bei Zylinderkoordinaten. Wenn man abintegriert, ergibt sich $\begin{eqnarray} T=\tfrac{\pi}{10}a^4h \end{eqnarray}$ . Probe: Der Parameter a entspricht dem (größten) Radius R, den der Kegel bei z=h besitzt. Wir setzen also a=R und erhalten $\begin{eqnarray} T=\tfrac{\pi}{10}R^4h \end{eqnarray}$ . Dies schreiben wir als Produkt $\begin{eqnarray} T=\tfrac{3}{10} R^2\cdot \underbrace{\tfrac{R^2 \pi h}{3}}_{\text{Kegelvolumen}}=\tfrac{3}{10} R^2V \end{eqnarray}$ . Setzt man darin $\begin{eqnarray} V=\tfrac{m}{\rho} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \rho=1 \end{eqnarray}$ , erhält man das Trägheitsmoment des Kegels $\begin{eqnarray} T=\tfrac{3}{10} R^2m \end{eqnarray}$ , was uns aus der klassichen Mechanik gut bekannt ist (Siehe auch WIKIPEDIA, Stichwort "Trägsheitsmoment").
26.09.2011, 16:58	Chucky1802	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort! Okay, klar soweit. Jetzt habe ich nur noch ein Verständnisproblem. Das Volumen bzw Flächenelement (also der Wert der Funktionaldeterminante) multipliziere ich mit der Transformationsfunktion. Sprich wenn ich von einem Normalgebiet in Karthesischen Koordinaten auf Zylinderkoordinaten wechseln möchte erhalte ich: $\begin{eqnarray} T = \int_{}^{} \! \int_{}^{}\! \int_{}^{} \! \begin{pmatrix} rcos(\phi) \\rsin(\phi) \\ z \end{pmatrix}r \, d(\phi,r,z) \end{eqnarray*}$ Dabei gehe ich davon aus, dass die Integrationsgrenzen richtig gewählt werden. Wenn ich nun das Volumen IR³ oder die Fläche IR² bestimmen will nehme ich als Funktion den Wert der Funktionaldeterminante und Integriere über meine korrekt gewählen Grenzen. Bei der Bestimmung der Masse und des Trägheitsmoment benutze ich anscheinend ebenfalls die Funktionaldeterminante als Funktion. Lediglich bei dem Schwerpunkt brauche ich laut Definition die Zylinderkoordinatenfunktion. Habe ich das richtig verstanden? Brauche ich die Zylinderkoordinatenfunktion noch zu anderen Berechnungen ? Gruß Chucky
27.09.2011, 10:50	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Trägheitsmoment ist ein Spezialfall eines allgemeinen Volumenintegrals $\begin{eqnarray} I=\int \! f(\vec x) \, dV \end{eqnarray}$ , wobei der Integrand $\begin{eqnarray} f(\vec x) \end{eqnarray}$ ein Skalar ist. Du darfst bei dieser Aufgabe also keinen Vektor als Integranden schreiben! Je nach Wahl des skalaren Integranden $\begin{eqnarray} f(\vec x) \end{eqnarray}$ hat das Integral verschiedene physikalische Bedeutungen Beispiele: 1) Wählt man als Integrand $\begin{eqnarray} f(\vec x)=r^2\rho \end{eqnarray}$ , ergibt sich das Trägheitsmoment. 2) Wählt man als Integrand die Dichte $\begin{eqnarray} f(\vec x)=\rho(\vec x) \end{eqnarray}$ , ergibt sich die Masse des Körpers. 3) Wählt man als Integrand die skalere Größe $\begin{eqnarray} f(\vec x)=x\cdot \rho \end{eqnarray}$ , ergibt sich die Koordinate des Schwerpunktes bezüglich x-Richtung Ich glaube, die Koordinatentransformation von Integralen hast du noch nicht ganz verstanden: Bei kartesischen Koordinanten ist das Volumenelement bekanntlich dV=dx dy dz, also "Volumen=Länge x Breite x Höhe". Bei Kugelkoordinaten kann man aber NICHT einfach schreiben $\begin{eqnarray} dV=dr d\theta d\phi \end{eqnarray}$ , denn es gilt hier NICHT "Volumen=phi x theta x Radius". Hierbei muss man einen "Verzerrungsfaktor" einführen, der die lokale Verzerrung der Kugelkoordinaten berücksichtigt. Bei Kugelkoordinaten gilt $\begin{eqnarray} dV=\underbrace{r^2 \sin(\theta )}_{\text{Verzerrungsfaktor}} dr d\phi d\theta \end{eqnarray}$ Der Verzerrungsfaktor wird als Funktionaldeterminente bezeichnet. Man berechnet ihn z.B. für Kugelkoordinaten gemäß $\begin{eqnarray} \text{Funktionaleterminante}=\det (A) \end{eqnarray}$ . Dabei ist A die Jacobimatrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \phi} & \frac{\partial z}{\partial \theta} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn die Dimension des Integrationsgebietes kleiner ist als der Einbettungsraum (z.B. bei 2-dimensionalen Flächen im 3-dimensionalen Raum), dann ist die $\begin{eqnarray} \text{Funktionaleterminante}=\sqrt{\det (AA^T)} \end{eqnarray}$ .
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