Ebenen senkrecht zueinander

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26.09.2011, 21:37	xpLoDe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebenen senkrecht zueinander Guten Abend, verzweifel grad an folgender Aufgabe: Bestimmen Sie c, sodass die beiden Ebenen $\begin{eqnarray} cx_{1} +x_{2} + 6x_{3} = 0 und <br /> x_{1} + cx_{2} - x_{3} = 0 \end{eqnarray}$ senkrecht zueinander sind. Bestimmen Sie für dieses c die Schnittgerade. Meine Idee um die Orthogonalität festzustellen: Die beiden Ebenen in Parameterform gleichsetzen.. Aber das c stört mich dabei total! Bitte um Hilfe =)
26.09.2011, 21:39	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde es lieber mit der Normalenform versuchen, damit kann man das c sehr einfach bestimmen. (Wie stehen die Normalenvektoren jeweils auf der zugehörigen Ebene?)
26.09.2011, 21:41	xpLoDe	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kann ich denn die Parametergleichungen in Normalenform bringen?
26.09.2011, 21:44	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast die Ebene in Koordinatenform, nicht in Parameterform gegeben. Wie sieht die Normalenform denn aus? Der Weg von der Normalenform in die Koordinatenform ist einfach nur ausmultiplizieren, rückwärts kann man aus den Koeffizienten der Koordinatenform direkt einen Normalenvektor der Ebene ablesen.
26.09.2011, 21:49	xpLoDe	Auf diesen Beitrag antworten »
ich würde einfach c=1 bestimmen, dann eine Unbekannte eliminieren.. komme dann auf x1=x2= $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , x3= -1/3 $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ .. ist Schwachsinn, oder?
26.09.2011, 21:55	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, du kannst ja nicht einfach c=1 festsetzen, dann schneiden sich die Ebenen nicht senkrecht. Bilde doch zuerst einmal die Normalenform der beiden Ebenen.
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26.09.2011, 21:56	xpLoDe	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau da liegt leider mein Problem..
26.09.2011, 21:57	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann noch einmal, wie sieht die Normalenform einer Ebene denn aus? Wenn wir das haben, können wir fast direkt umformen.
26.09.2011, 22:05	xpLoDe	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} E1: \vec{x} \begin{pmatrix} c \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix}=0 ;<br /> E2: \vec{x} \begin{pmatrix} 1 \\ c \\ -1 \end{pmatrix}=0; \end{eqnarray}$
26.09.2011, 22:09	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wunderbar, jetzt haben wir die beiden Normalenvektoren der Ebene. Damit können wir jetzt das c bestimmen, für welches sich die Ebenen senkrecht schneiden. Wie stellt man das an? Tipp: die Normalenvektoren stehen senkrecht auf den jeweiligen Ebenen, wie müssen also die Normalenvektoren in diesem Fall zueinander stehen?
26.09.2011, 22:19	xpLoDe	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \vec{x_1} \vec{x_2}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} c \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ c \\ -1 \end{pmatrix}=0 \Rightarrow c+c-6=0\Rightarrow c= \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
26.09.2011, 22:26	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dem so bestimmten c stehen die Geraden nun senkrecht aufeinander, jetzt musst du nur noch die Schnittgerade bestimmen. Edit: Da habe ich etwas schief gesehen, du hast die richtige Gleichung falsch aufgelöst, $\begin{eqnarray} c+c-6=0 \end{eqnarray}$ führt nicht zu $\begin{eqnarray} c=\frac 13 \end{eqnarray}$ .
26.09.2011, 22:41	xpLoDe	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun setze ich c in die beiden Ebenen ein, eliminiere eine Unbekannte, setze eine Unbekannte = lambda und berechne damit die anderen beiden Unbekannten?? Dann hab ich doch meinen Schnitt oder? oh sorry, c=3 !!
26.09.2011, 22:42	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
c=3 stimmt jetzt. Ja, du kansnt jetzt entweder das Gleichungssystem lösen, oder du arbeitest über die Normalenform, oder über die Parameterform...um die Schnittgerade zu bestimmen gibt es verschiedenste Möglichkeiten, nimm die, die dir am besten liegt.
26.09.2011, 22:50	xpLoDe	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir =) Im großen und ganzen ist die Vektorrechnung ja echt nicht so schwer, habe nur Probleme mit dem Start von Aufgaben!

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