Verteilungsdichte bestimmen

27.09.2011, 17:05

Gast11022013

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Verteilungsdichte bestimmen

Meine Frage:
Das Intervall [0,2] werde in zwei Teile zerlegt, indem in [0,1] zufällig (gemäß der Gleichverteilung) ein Punkt markiert wird. Sei X das Längenverhältnis $\begin{eqnarray*} l_1/l_2 \end{eqnarray*}$ der kürzeren Teilstrecke $\begin{eqnarray*} l_1 \end{eqnarray*}$ zur längeren Teilstrecke $\begin{eqnarray*} l_2 \end{eqnarray*}$ . Berechne die Verteilungsdichte von X.

Meine Ideen:
Meine Idee ist es, die Verteilungsfunktion von X zu bestimmen und dann zu differenzieren, um die Verteilungsdichte von X zu erhalten.

$\begin{eqnarray*} F_X(c)=P(X\leq c)=P(\frac{l_1}{l_2}\leq c)=P(l_1\leq c\cdot l_2) \end{eqnarray*}$

Und nun ist ja $\begin{eqnarray*} l_1 \end{eqnarray*}$ gleichverteilt auf [0,1] - oder?

27.09.2011, 19:33

Leopold

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Du hast ja $\begin{eqnarray*} l_1 + l_2 = 2 \end{eqnarray*}$ noch gar nicht verwendet ...

27.09.2011, 19:45

Gast11022013

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Ich weiß grad ehrlich gesagt nicht, wo bzw. wie ich das verwenden kann...

Hast Du einen Tipp?

27.09.2011, 19:50

Leopold

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Die Gleichung sagt: $\begin{eqnarray*} l_2 \end{eqnarray*}$ ist überflüssig. Eliminiere es aus der Rechnung.

27.09.2011, 19:57

Gast11022013

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Sehe ich nicht, inwiefern $\begin{eqnarray*} l_2 \end{eqnarray*}$ überflüssig ist.

Ich könnte es höchstens durch eine andere Variable ersetzen... verwirrt

verwirrt

27.09.2011, 20:02

Leopold

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Ein anderes Beispiel: Wenn du eine Aussage hast, die die Variablen $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ enthält, und zusätzlich weißt, daß $\begin{eqnarray*} p+q=1 \end{eqnarray*}$ gilt, ist eine der beiden Variablen überflüssig. Sie mag der bequemen Schreibweise dienen. Überflüssig bleibt sie.

Ehrlich, wenn dir gleich die Augen aufgehen, wirst du zu dir sagen: O Gott, Dennis! Da hattest du wieder einmal Tomaten vor den Augen!

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27.09.2011, 20:06

Gast11022013

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Noch kleben die Tomaten an Ort und Stelle. Big Laugh

Big Laugh

27.09.2011, 20:09

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
Eliminiere es aus der Rechnung.

$\begin{eqnarray*} l_2 = 2 - l_1 \end{eqnarray*}$

Oben einsetzen!

27.09.2011, 20:10

Gast11022013

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Achso!

Du meinst einfach, daß man anstatt von $\begin{eqnarray*} l_2 \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} 1-l_1 \end{eqnarray*}$ einsetzt. Man hat also eine Variable weg.

Edit: Ich habe das ehrlich geschrieben, ohne Deine Antwort gelesen zu haben, es war mir eingefallen. Big Laugh

Big Laugh

Natürlich 2 statt 1.

27.09.2011, 20:16

Gast11022013

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RE: Verteilungsdichte bestimmen

Zitat:

Original von Dennis2010

Meine Ideen:
Meine Idee ist es, die Verteilungsfunktion von X zu bestimmen und dann zu differenzieren, um die Verteilungsdichte von X zu erhalten.

$\begin{eqnarray*} F_X(c)=P(X\leq c)=P(\frac{l_1}{l_2}\leq c)=P(l_1\leq c\cdot l_2) \end{eqnarray*}$

Und dann also

$\begin{eqnarray*} P(l_1\leq c\cdot (2-l_1))=P(l_1\leq 2c-cl_1) \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

27.09.2011, 20:27

Leopold

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Du wirst doch die Ungleichung nach $\begin{eqnarray*} l_1 \end{eqnarray*}$ auflösen können ...

27.09.2011, 20:33

Gast11022013

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Irgendwie scheine ich nicht so zu kapieren was Du jeweils meinst.

"Eine Ungleichung auflösen" - das heißt was?

Meinst Du die $\begin{eqnarray*} l_1 \end{eqnarray*}$ auf die linke Seite bringen? Dann komme ich auf

$\begin{eqnarray*} P(\frac{l_1}{c}+l_1\leq 2) \end{eqnarray*}$ .

27.09.2011, 20:35

Leopold

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$\begin{eqnarray*} l_1 \leq \frac{2c}{1+c} \end{eqnarray*}$

27.09.2011, 20:39

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} P\left(l_1 \leq \frac{2c}{1+c}\right) \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist, daß ich nicht weiß, was man damit nun beginnen kann, denn ich kenne solche Konstruktionen nur, wenn jetzt auf der linken Ungleichungsseite eine Zufallsvariable stünde, von der man die Verteilungsfunktion kennt.

Aber bei $\begin{eqnarray*} l_1 \end{eqnarray*}$ weiß ich jetzt irgendwie gar nicht bescheid. Anfangs dachte ich ja, das wäre gleichverteilt, aber ob das stimmt....

27.09.2011, 20:42

Leopold

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Über $\begin{eqnarray*} l_1 \end{eqnarray*}$ gibt der einleitende Satz der Frage Auskunft. Dort ist von Gleichverteilung ausdrücklich die Rede.

27.09.2011, 20:46

Gast11022013

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Dazu eine kurze Überlegung, für die ich hoffentlich nicht verprügelt werde, wenn sie wieder totaler Mumpitz ist. Big Laugh

Big Laugh

Dort steht ja streng genommen, daß die Punkte x in [0,1] gleichverteilt sind.

Nun ist ja aber $\begin{eqnarray*} l_1=x-0=x \end{eqnarray*}$ (x ist zufällig aus [0,1] gewählt), eben die Länge, und deswegen gilt für $\begin{eqnarray*} l_1 \end{eqnarray*}$ die genannte Gleichverteilung?

27.09.2011, 20:51

Leopold

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Zwischen $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$ und der Strecke von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ machen die Mathematiker keinen Unterschied. Physiker mögen das anders sehen.

27.09.2011, 21:04

Gast11022013

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Okay, dann halte ich mich gerne an die Mathematiker und kann also von (stetiger) Gleichverteilung für $\begin{eqnarray*} l_1 \end{eqnarray*}$ auf [0,1] ausgehen.

Dann würde ich sagen:

$\begin{eqnarray*} F_{l_1}\left(\frac{2c}{1+c}\right)=0, \text{falls}\frac{2c}{1+c}\leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_{l_1}\left(\frac{2c}{1+c}\right)=\frac{2c}{1+c}, \text{falls} 0<\frac{2c}{1+c}<1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_{l_1}\left(\frac{2c}{1+c}\right)=1, \text{falls}\frac{2c}{1+c}\geq 1 \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

27.09.2011, 21:10

Leopold

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Ja. Sprich das aber für $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ aus. Das Verhältnis $\begin{eqnarray*} \frac{l_1}{l_2} \end{eqnarray*}$ kann offenbar genau die Werte des Intervalls $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ annehmen. Zeichnung!

27.09.2011, 21:17

Gast11022013

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Achja, man kann diese Fallunterscheidung ja auch für c machen.

Also:

$\begin{eqnarray*} F_{l_1}\left(\frac{2c}{1+c}\right)=0, \text{falls} -1<c\leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_{l_1}\left(\frac{2c}{1+c}\right)=\frac{2c}{1+c}, \text{falls} 0<c<1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_{l_1}\left(\frac{2c}{1+c}\right)=1, \text{falls} c<-1 \text{oder} c\geq 1 \end{eqnarray*}$

27.09.2011, 21:28

Gast11022013

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Man sollte ja aber die Verteilungsdichte bestimmen, ist die dann

$\begin{eqnarray*} f(c)=F'(c)=\frac{2}{(c+1)^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0<c<1 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} f(c)=0 \end{eqnarray*}$ sonst

?

Edit: Mumpitz verbessert...

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