Minimalpolynom von Endomorphismen und Matrizen

27.09.2011, 22:14

Frage???

Minimalpolynom von Endomorphismen und Matrizen

V K-VR
Sei $\begin{eqnarray*} M^B _B (f)= A, f\in End_K (V) \end{eqnarray*}$

Zu zeigen: Das Minimalpolynom von f und A stimmen überein, denn $\begin{eqnarray*} P(A)=M^B _B (P(f)) \end{eqnarray*}$ für jedes P aus dem Polynomring über K

Die Beweisidee soll sein, dass man den Ringhomomorphismus $\begin{eqnarray*} End_K -> M_{n\times n} (K) \end{eqnarray*}$ ausnutzt.

Mit Hilfe des Ringhomomorphismus kann ich jeden Endomorphismus mit einer Matrix identifizieren. Ich sehe aber nicht, inwiefern mir das die Gleichheit der Minimalpolynome liefert.

Vielen Dank im Voraus!

27.09.2011, 22:41

tmo

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Ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ der erwähnte Homomorphismus, so lässt sich einfach zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray*} f \in End_K(V) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} P(\varphi(f)) = \varphi(P(f)) \end{eqnarray*}$ für alle Polynome $\begin{eqnarray*} P \in K[X] \end{eqnarray*}$

Das ist eine direkte Folgerung aus der Tatsache, dass sich ein Homomorphismus eben mit den Rechenoperationen verträgt.

edit: Die Gleichheit der Minimalpolynome kriegst du dann über die Äquivalenz $\begin{eqnarray*} P(A) = 0 \Longleftrightarrow P(f)=0 \end{eqnarray*}$ , welche sofort folgt, wenn man noch beachtet, dass es sich sogar um einen Isomorphismus handelt.

27.09.2011, 22:49

Frage???

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Zitat:

Original von tmo
Das ist eine direkte Folgerung aus der Tatsache, dass sich ein Homomorphismus eben mit den Rechenoperationen verträgt.

Könntest du das genauer erklären?
Schon mal vielen Dank!

27.09.2011, 22:51

tmo

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Naja es ist doch

$\begin{eqnarray*} P(\varphi(f)) = \sum_{k=0}^s c_k\varphi^k(f) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} P = \sum_{k=0}^s c_k x^k \end{eqnarray*}$

Und jetzt fange einfach an und wende die Eigenschaften eines Ringhomomorphismus (eigentlich sogar Algebrenhomomorphismus) an.

Das bedeutet auf gut deutsch: Du darfst alles "in die Abbildung reinziehen".

27.09.2011, 22:59

Frage???

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Vielen Dank, jetzt hab ich's verstanden!

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