Bekannt! Beweis (Stochastik)

28.09.2011, 11:48

Gast11022013

Beweis (Stochastik)

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable mit Werten in $\begin{eqnarray*} \left\{0,1,2,3,\hdots\right\} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} E(X)=\sum_{k\geq 1}P(X\geq k) \end{eqnarray*}$ . Eventuell sind beide Seiten $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Mir fehlt leider jede Idee.
Wer kann mir bitte eine "Starthilfe" geben?

Edit:

Vielleicht fängt man mit

$\begin{eqnarray*} E(X)=\sum_{x\in X(\Omega)}xP(X=x)=\sum_{x\in\left\{0,1,2,3,\hdots\right\}}xP(X=x)=\sum_{x\in\left\{1,2,3,\hdots\right\}}xP(X=x) \end{eqnarray*}$

an.

Edit 2:

Vielleicht benötigt man auch irgendwie

$\begin{eqnarray*} P(X=x)=P(X\leq x)-\underbrace{P(X<x)}_{1-P(X\geq x)} \end{eqnarray*}$ .

Aber das sind alles nur so einzelne Ideen, die mich nicht wirklich zum Ziel bringen.

28.09.2011, 12:19

Math1986

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RE: Beweis (Stochastik)
Ich hatte hierzu schonmal einen Thread, und zitiere mich mal selbst:
Beweis zum Erwartungswert

Zitat:

Im Grunde läuft es nun nur noch darauf hinaus, dass du die einzelnen Summanden geschickt umordnest.
Schreib das Summenzeichen mal aus und stelle die Multiplikation als mehrfache Addition dar.

Mach es dir mal mit n=2,3.. klar.

Wie kannst du denn $\begin{eqnarray*} P(X\geq n) \end{eqnarray*}$ als Summe schreiben?

28.09.2011, 12:47

Gast11022013

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RE: Beweis (Stochastik)
Achso!

Wenn man die Summe einmal ausschreibt, bekommt man:

$\begin{eqnarray*} 1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)+3\cdot P(X=3+\hdots \end{eqnarray*}$

Dies kann man ausschreiben und bekommt:

$\begin{eqnarray*} P(X=1)+P(X=2)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=3)+P(X=3)+\hdots \end{eqnarray*}$

Nach einem Umsortieren der Summanden hat man:

$\begin{eqnarray*} P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+\hdots +P(X=2)+P(X=3)+\hdots \end{eqnarray*}$ ,

was ja, weil es sich um eine diskrete Zufallsvariable handelt (und man die Wahrscheinlichkeiten für $\begin{eqnarray*} P(X\geq k) \end{eqnarray*}$ schlicht und einfach aufsummieren kann, also $\begin{eqnarray*} P(X\geq k)=P(k)+P(k+1)+P(k+2)+\hdots \end{eqnarray*}$ ) nichts Anderes ist als

$\begin{eqnarray*} \sum_{k\geq 1}P(X\geq k)=P(X\geq 1)+P(X\geq 2)+\hdots \end{eqnarray*}$ .

Das ist's dann.

28.09.2011, 13:07

Gast11022013

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Danke, Math1986!

[Das war ein klasse Hinweis!]

Aufgaben, die auf den ersten Blick so schwierig wirken, sind es meist dann gar nicht und Aufgaben, bei denen man denkt, daß man sie mal eben macht, sind dann zum Haareraufen.

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