Charakteristisches Polynom und seine Nullstellen

28.09.2011, 17:09

GregorC

Charakteristisches Polynom und seine Nullstellen

** Hab diese Frage zur linearen Algebra mal passend ins Algebra-Forum verschoben... Hat mit Analysis nicht viel zu tun! - gonnabphd **

Wir müssen am Freitag in einer Klausur das charakteristische Polynom einer Matrix bestimmen und die Nullstellen davon berechnen (Eigenwert).

Wir machen das mit Folgender Form

$\begin{eqnarray*} -\lambda ^3 + Spur \lambda ^2 + C2 \lambda + det \end{eqnarray*}$

Wenn alles richtig aufgeht steht dort ein Ausdruck wie z.B.

$\begin{eqnarray*} -\lambda ^ 3 + 5\lambda ^2 + 5\lambda + 4 \end{eqnarray*}$

Wen man jetzt eine Nullstelle "rät" dann kann man ja eine Polynomdivision durchführen und man kommt auf eine Form

$\begin{eqnarray*} x^2 + x +c \end{eqnarray*}$

Daraus kann man jetzt bequem die Nullstellen berechnen. Mit pq-Formel, oder wie auch immer.

Doch was wäre wenn aus dem obigen Ausdruck das

$\begin{eqnarray*} Spur \lambda ^2 \end{eqnarray*}$

0 ergibt.

Dann hätten wir ja folgendes

$\begin{eqnarray*} -\lambda ^3 + C2 \lambda + det \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\lambda ^ 3 + 5\lambda + 4 \end{eqnarray*}$

Wie kann ich jetzt aus der letzten Gleichung die Nullstellen berechnen um am Ende auf den Eigenraum zu kommen?

$\begin{eqnarray*} -\lambda ^ 3 + 5\lambda + 4 = 0 \end{eqnarray*}$

Ich kriege die Gleichung einfach nicht korrek aufgelöst.

28.09.2011, 17:19

Equester

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Errate auch hier eine Nullstelle. Probiere dafür mal -1 aus Augenzwinkern

28.09.2011, 17:25

GregorC

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Ja funktioniert.

Und dann? Kann ich da eine Polynomdivision durchführen?
Dachte immer dafür müsste ich die Form ax^2 + bx +c haben?!

Sehe ich das falsch?

28.09.2011, 17:56

Equester

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Eine Polynomdivision ist mit jedem Polynom möglich.
Ob was gscheites rauskommt ist ne andere Frage.
Wo sollte hier aber das Problem liegen? Setze einfach 0x^2 Augenzwinkern

Zitat:

Dachte immer dafür müsste ich die Form ax^2 + bx +c haben?!

Not Oo Da nimmt man die pq-Formel und nicht den Hammer Polynomdivision.
Idealerweise ist das das Ergebnis nach einer Polynomdivision eines Polynoms dritten Grades.

29.09.2011, 12:49

GregorC

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Ok, das hab ich versucht. Wenn ich das Ganze dann aber durch den Faktor (x+1) teile, kommt meine Polynomdivision nicht auf 0 aus.

$\begin{eqnarray*} (-\lambda ^3 + 0 \lambda ^2 + 5 \lambda + 4) : (\lambda +1) \end{eqnarray*}$

Mein Ergebnis ist

$\begin{eqnarray*} -\lambda ^2 - \lambda +6 \end{eqnarray*}$

aber es bleibt ein Rest von 2 bei der Polynomdivision über.

Das Beispiel hatte ich mir jetzt aus dem Kopf ausgedacht. Kann das der Grund sein, warum es nicht aufgeht? Wäre so denn die Heransgehensweise richtig um mittlels Polynomdivision auf die Nullstellen bzw. eine Form ax^2 zu kommen?

29.09.2011, 12:58

Helferlein

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Rechnen wir mal gegen:
$\begin{eqnarray*} (t+1)(-t²-t-6) = t(-t²-t-6)+1(-t²-t-6) = -t³-t²-6t-t²-t-6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = -t³-2t²-7t-6\neq-t³+5t+4 \end{eqnarray*}$

Also hast Du Dich irgendwo bei der Polynomdivision verrechnet.
Abgesehen davon darf wegen -(-1)³+5(-1)+4=0 zwangsläufig kein Rest bei der Division übrig bleiben.

EDIT: Rechnenfehler korrigiert.

29.09.2011, 13:54

GregorC

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Ja, du hast Recht.
Hab es nochmal nachgeprüft. War heute Morgen noch nicht ganz wach :-)

Jetzt gehts wunderbar auf und ich weiß jetzt wie ich rangehen soll.

Danke dir!

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