Fixpunktiteration

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Smartio Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunktiteration
Hi, ich kämpfe mich gerade durch ein Aufgaben Beispiel....

Ersteinmal die paßenden Sätze aus meinem Skript:
http://home.arcor.de/digital-video/muell/itera2.JPG

So und dann das Bsp:
http://home.arcor.de/digital-video/muell/itera.JPG

Mir geht es vorallem um die rot markierten Stellen. Um den Banachschen Fixpunktsatz anwenden zu können muss man ja als erstes zeigen dass die Abbildung Selbstabbildend und kontrahierend ist.

Was soll die Jacobimatrix, wieso wird die hier aufgestellt ?
Und dann das L, versucht wird hier doch das L aus Definition 3.1 zu berechnen, oder ? Wieso wird hier die Forbeniusnorm benutzt ?

Danke
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixpunktiteration
Hast du den Fixpunktsatz im eindimensionalen verstanden?

Was stellt den die Jacoimatrix da?

Da Normen in endlich dimensionalen Räumen äquivalent sind, dürfte die spezielle Wahl der Frobeniusnorm keine Rolle spielen
 
 
Smartio Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixpunktiteration
Zitat:
Hast du den Fixpunktsatz im eindimensionalen verstanden?


Finde viele verschieden Fixpktsätze....kA welchen genau du meinst


Zitat:
Was stellt den die Jacoimatrix da?


Die "Ableitungen"

Zitat:
Da Normen in endlich dimensionalen Räumen äquivalent sind, dürfte die spezielle Wahl der Frobeniusnorm keine Rolle spielen


ok aber wieso verwendet man die Norm um an das L zu gelangen ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixpunktiteration
1. Den von Banach - what else Augenzwinkern

2. Freude

3. Weil wir zeigen wollen, dass es sich um eine Kontraktion handel Wie wird das eindimensional gemacht?.
Smartio Auf diesen Beitrag antworten »

Wir wollen doch Definition 3.1 zeigen !? was hat das damit zu tun ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Da Du den Satz nicht verstehst, könnte es Dir helfen den Spezialfall n=1 zu betrachten. Den kann man sich noch hinmalen.

[latex]|f(y)-f(z)| \leq \max_{y\in[a,b]}|f'(y)| \cdot |y-z| [/latex]

Wenn wir also nach der Kontraktionskonstanten L suchen, betrtachten wir:

[latex]\max_{y\in[a,b]}|f'(y)|[/latex]


In deinem Beispiel ergibt sich wegen sin²()+cos²() = 1 schon direkt eine Zahl unabhängig von x,y.
Smartio Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also wenn ich das L suche berechne ich


Wie man dann auf den Wert 0,728 kommt habe ich auch verstanden....aber wiese sagt uns das sofort dass es kotrahierend ist `? Muss der Wert nur <1 sein oder wie ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Er muss in (0,1) liegen
Smartio Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, und da wir hier im R² wird eine Norm anstatt des Betrages gewählt ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Umgekehrt wird ein Schuh draus.

Normen
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