Additionstheoreme mit komplexer Multiplikation zeigen

29.09.2011, 10:41

KnowingLizard

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Additionstheoreme mit komplexer Multiplikation zeigen

Meine Frage:
Ich soll mittels der komplexen Multiplikation (d.h. der Multiplikation komplexer Zahlen, wird wohl letztlich auf Euler hinauslaufen) zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \cos^2(\alpha ) = 1/2 (1+\cos2\alpha) \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Ideen:
Die Herleitung der einfachen Additionstheoreme von Sinus und Cosinus war auch Teil der Aufgabe, den Teil habe ich aber umgehend bewältigt. Ebenso habe ich $\begin{eqnarray*} \sin(2\alpha ) = 2\sin\alpha \cos\alpha \end{eqnarray*}$ wie folgt bewiesen:

$\begin{eqnarray*} <br /> \sin2\alpha = Im(\cos2\alpha+i*\sin2\alpha) = Im(e^{i*2\alpha} = Im((e^{i*\alpha})^2)<br /> = Im((\cos\alpha+i*\sin\alpha)^2) <br /> = Im (\cos^2\alpha+2*i*\sin\alpha*\cos\alpha-\sin^2\alpha) <br /> = 2*\sin\alpha*\cos\alpha \end{eqnarray*}$

Falls dieser Beweis richtig ist, habe ich das Gefühl, dass die Aufgabe aus meiner Frage ganz ähnlich funktionieren müsste, allerdings weiß ich nicht, was ich mit $\begin{eqnarray*} \cos^2(\alpha ) \end{eqnarray*}$ anfangen soll, mir fällt da irgendwie höchstens ein, dass ich das als $\begin{eqnarray*} (Re(e^{i*\alpha}))^2 \end{eqnarray*}$ schreiben könnte, aber ich weiß nicht, was ich da mit dem Quadrat anfangen soll...

Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen, auch, wenn ich das Gefühl habe, dass die Lösung eigentlich offensichtlich ist bzw. sein müsste...

29.09.2011, 11:04

sergej88

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Ausgehend von

$\begin{eqnarray*} e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x) \end{eqnarray*}$

haben wir ja

$\begin{eqnarray*} \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \end{eqnarray*}$

damit lassen sich alle Identitäten durch einsetzen direkt bestimmen.

mfg

29.09.2011, 11:06

klarsoweit

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RE: Additionstheoreme mit komplexer Multiplikation zeigen
Alternativ kannst du für $\begin{eqnarray*} \cos(2\alpha ) \end{eqnarray*}$ wie bei $\begin{eqnarray*} \sin(2\alpha ) \end{eqnarray*}$ vorgehen.

29.09.2011, 11:21

KnowingLizard

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Hey, danke für die schnellen Antworten Augenzwinkern

Augenzwinkern

smile

@sergej88: Oh, an die Möglichkeit habe ich gar nicht gedacht, weil ja in der Aufgabe davon die Rede ist, dass ich das mit der "komplexen Multiplikation" lösen soll, d.h. diese Lösungsweise fällt da wohl nicht darunter?
Wäre aber dieser Lösungsweg dafür richtig?:
$\begin{eqnarray*} \cos^2\alpha = (\frac{e^{i*\alpha}+e^{-i*\alpha}}{2})^2 =\frac{e^{2i\alpha}+2e^{i\alpha-i\alpha}+e^{-2i\alpha}}{4} =\frac{e^{2i\alpha}+2+e^{-2i\alpha}}{4} = 1/4*\cos(2\alpha)+1/4*sin(2\alpha)+1/4*cos(-2\alpha)+1/4*sin(-2\alpha)+1/2 = 1/2 \cos(2\alpha) + 1/2 = 1/2*(1+\cos(2\alpha)) \end{eqnarray*}$
Die beiden Sinuswerte müssten sich ja wegen der Punktsymmetrie auslöschen, die Cosinuswerte wegen der Achsensymmetrie addieren, oder?

@klarsoweit: Das hört sich nach einem aufgabenkonformen Lösungsweg an, ich habe das auch mal probiert, bin dann aber irgendwann nicht mehr so richtig weitergekommen:

$\begin{eqnarray*} \cos2\alpha = Re ( cos2\alpha + i*sin2\alpha) = Re (e^{i*2\alpha}) <br /> = Re((e^{i\alpha})^2) = Re((\cos\alpha+i*\sin\alpha)^2) = Re (\cos^2\alpha+2*i*\sin\alpha\cos\alpha-\sin^2\alpha) = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha \end{eqnarray*}$

Nur, wie hilft mir das jetzt weiter? Ist das überhaupt so richtig? Weil eingesetzt in die rechte Seite meiner Ausgangsgleichung ergäbe das ja:

$\begin{eqnarray*} 1/2*(1+\cos^2\alpha-\sin^2\alpha) \end{eqnarray*}$

Aber wie kann ich das jetzt nach $\begin{eqnarray*} \cos^2\alpha \end{eqnarray*}$ umformen?

EDIT: Zeilenumbrüche aus Latex entfernt (klarsoweit)

29.09.2011, 11:45

klarsoweit

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Ersetze in $\begin{eqnarray*} \cos(2\alpha) = ... = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \end{eqnarray*}$ das sin² durch den trigonometrischen Phytagoras. Dann kannst du nach cos² umstellen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.09.2011, 12:10

KnowingLizard

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Aaaaah, dass mir das nicht aufgefallen ist Hammer

Hammer

Hatte sogar kurz mal daran gedacht, es dann aber irgendwie wieder vergessen verwirrt

verwirrt

Welche der beiden Lösungen wäre denn jetzt zur Aufgabenstellung ("mit der komplexen Multiplikation") passender? Ist die andere Lösung in meinem letzten Beitrag auch korrekt?

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29.09.2011, 12:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von KnowingLizard
Welche der beiden Lösungen wäre denn jetzt zur Aufgabenstellung ("mit der komplexen Multiplikation") passender?

Gute Frage. Schließlich wird die in beiden Wegen angewendet.

Zitat:

Original von KnowingLizard
Ist die andere Lösung in meinem letzten Beitrag auch korrekt?

Ja.

29.09.2011, 12:49

KnowingLizard

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Vielen, vielen, vielen Dank euch beiden!

Oh, und es wäre noch mega super, wenn jemand folgende Lösung verifizieren könnte, denn nachdem ich hier jetzt einige entscheidende Tipps bekommen habe, habe ich mal eine weitere ähnliche Aufgabe eigenständig gelöst:

z.Z. $\begin{eqnarray*} \sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)) = \frac{1}{2}(Re(e^{i*(\alpha-\beta)})-Re(e^{i*(\alpha+\beta)}) = \frac{1}{2}(Re(e^{i*(\alpha)}*e^{-i\beta})-Re(e^{i*(\alpha)}*e^{i\beta})) = \frac{1}{2}(Re((\cos\alpha+i*\sin\alpha)*(\cos\beta-i*\sin(\beta)) - Re((\cos\alpha + i*\sin\alpha)*(\cos\beta - i*\sin(\beta))) = \frac{1}{2}(Re(\cos\alpha*\cos\beta - i * \sin\beta*\cos\alpha + i*\sin\alpha\cos\beta+\sin\alpha*\sin\beta) - Re(\cos\alpha\cos\beta + i*\sin\beta\cos\alpha+i*\sin\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2}(\cos\alpha*\cos\beta + \sin\alpha*\sin\beta - \cos\alpha * \cos\beta + \sin\alpha*\sin\beta) = \frac{1}{2}(2*\sin\alpha*\sin\beta) =\sin\alpha\sin\beta \end{eqnarray*}$

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

29.09.2011, 12:54

klarsoweit

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Sieht auch richtig aus.

Hinweis: momentan gibt es Probleme mit Zeilenschaltungen im Latexcode. Am besten vermeiden.

29.09.2011, 13:16

KnowingLizard

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Oh okay, in Ordnung.

Naja, jedenfalls scheine ich das jetzt alles verstanden zu haben smile

smile

So macht Mathematik Spaß, es gibt nichts besseres, als das Gefühl, eine Aufgabe, bei der man nicht sofort auf die Lösung gekommen ist, dann doch zu lösen smile

smile

EDIT:
Mir sind da doch noch zwei Fragen gekommen, will dafür jetzt aber nicht gleich extra Thread(s) eröffnen:

1)
Aufgabe: Für welche natürlichen Zahlen n wird folgende Summe reell:
$\begin{eqnarray*} s_{n}(z)=\sum\limits_{k=0}^{n-1} z^{2k} <br /> z = \frac{1}{2}(\sqrt{3}-i) \end{eqnarray*}$

Hier fehlt mir irgendwie der Ansatz, ich weiß irgendwie nicht, für welche Hochzahlen z reell wird, kann mir da jemand einen Tipp geben, an dem ich ansetzen kann? Mir scheint da irgendwie das Wissen zu fehlen oder aber der Schlüssel fällt mir nicht ein...

2) Ähnliches Problem wie bei 1), ich brauche irgendwie einen Tipp zum Anfang, für die Gleichungen a+x=b und a*x=b mit a, b, x als komplexen Zahlen soll ich zeigen, dass sie für jedes a und b eine Lösung x besitzen und x soll ich dann eben noch allgemein angeben. Auch hier brauche ich irgendwie einen kleinen Hinweis zum Anfang, hab schon länger drüber nachgedacht, aber mir fällt kein sinnvoller Ansatz ein...

29.09.2011, 13:45

KnowingLizard

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Hmm hab jetzt zu einer meiner beiden Fragen (Frage 1)) aus dem letzten Beitrag doch noch eine Idee bekommen:

z kann ich ja als $\begin{eqnarray*} 2*e^{i*(-\frac{\Pi}{3})} \end{eqnarray*}$ schreiben, oder nicht?
Die Summe ist ja dann reell, wenn alle Summanden reell sind, d.h. wenn $\begin{eqnarray*} z^{2k} \end{eqnarray*}$ für alle meinen gefundenen n's und damit k's reell ist, oder? $\begin{eqnarray*} z^{2k} \end{eqnarray*}$ ist ja dann reell, wenn meine Winkel in der Euler-Darstellung ( $\begin{eqnarray*} 2*e^{i*(-\frac{\Pi}{3})} \end{eqnarray*}$ ) ganze Vielfache von $\begin{eqnarray*} 2\Pi \end{eqnarray*}$ sind, oder nicht?
D.h. nach $\begin{eqnarray*} (2*e^{i*(-\frac{\Pi}{3})})^{2k} = 2^{2k}*e^{i*(-2*k*\frac{\Pi}{3})} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} z^{2k} \end{eqnarray*}$ reell für alle k=3y, y aus Z, d.h. für n=|k+1|=|3y+1|.

Kann das sein?

29.09.2011, 15:14

klarsoweit

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Zitat:

Original von KnowingLizard
z kann ich ja als $\begin{eqnarray*} 2*e^{i*(-\frac{\Pi}{3})} \end{eqnarray*}$ schreiben, oder nicht?

Nicht ganz. Der betrag von z ist 1.

Zitat:

Original von KnowingLizard
Die Summe ist ja dann reell, wenn alle Summanden reell

Wieso? Man kann auch 2 komplexe Zahlen addieren, so daß die Summe reell ist.

29.09.2011, 15:23

KnowingLizard

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von KnowingLizard
z kann ich ja als $\begin{eqnarray*} 2*e^{i*(-\frac{\Pi}{3})} \end{eqnarray*}$ schreiben, oder nicht?

Nicht ganz. Der betrag von z ist 1.

Stimmt, hab das 1/2 vergessen Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Zitat:

Original von KnowingLizard
Die Summe ist ja dann reell, wenn alle Summanden reell

Wieso? Man kann auch 2 komplexe Zahlen addieren, so daß die Summe reell ist.

Bei gegensätzlichem Vorzeichen des imaginären Teils und gleichem Betrag? Wie berücksichtige ich das dann?

Und kann mir bei der anderen Frage jemand einen Tipp geben? Es ist ja sicher nicht Sinn der Sache, einfach zwei komplexe Zahlen (z.B. a=a1*ia2 und b=b1*ib2) einzufügen und nach x aufzulösen, das kann ja nicht Sinn der Aufgabe sein, oder?

29.09.2011, 15:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von KnowingLizard
Aufgabe: Für welche natürlichen Zahlen n wird folgende Summe reell:
$\begin{eqnarray*} s_{n}(z)=\sum\limits_{k=0}^{n-1} z^{2k} <br /> z = \frac{1}{2}(\sqrt{3}-i) \end{eqnarray*}$

Wenn du für z die Exponentialschreibweise nimmst, kannst du auf die Summe die Formel für die geometrische Reihe anwenden.

29.09.2011, 16:28

KnowingLizard

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von KnowingLizard
Aufgabe: Für welche natürlichen Zahlen n wird folgende Summe reell:
$\begin{eqnarray*} s_{n}(z)=\sum\limits_{k=0}^{n-1} z^{2k} <br /> z = \frac{1}{2}(\sqrt{3}-i) \end{eqnarray*}$

Wenn du für z die Exponentialschreibweise nimmst, kannst du auf die Summe die Formel für die geometrische Reihe anwenden.

Ich bin mir nicht ganz sicher, was "die Formel für die geometrische Reihe" ist, aber ich glaube, dass diese bei Aufgabenstellung noch kein Vorlesungsstoff war, weshalb ich davon ausgehe, dass ich das ohne diese lösen muss.
Wie soll ich da dann verfahren?

29.09.2011, 17:03

KnowingLizard

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(musste leider einen neuen Beitrag schreiben, weil ich den alten nicht mehr bearbeiten kann)
Ich habe jetzt auch mal etwas zu der zweiten Frage
("2) Ähnliches Problem wie bei 1), ich brauche irgendwie einen Tipp zum Anfang, für die Gleichungen a+x=b und a*x=b mit a, b, x als komplexen Zahlen soll ich zeigen, dass sie für jedes a und b eine Lösung x besitzen und x soll ich dann eben noch allgemein angeben. Auch hier brauche ich irgendwie einen kleinen Hinweis zum Anfang, hab schon länger drüber nachgedacht, aber mir fällt kein sinnvoller Ansatz ein... ")
aufgeschrieben, aber da ich mir nicht so ganz sicher bin, was die Aufgabe von mir will, glaube ich, dass das wohl nicht passen wird, aber hier mal mein Aufschrieb:

Insgesamt sei $\begin{eqnarray*} a=a_{1}+a_{2}*i; b=b_{1}+b_{2}*i \end{eqnarray*}$

Gleichung 1:
$\begin{eqnarray*} a_{1}+a_{2}*i+x=b_{1}+b_{2}*i<br /> x = b_{1}+b_{2}*i - a_{1}-a_{2}*i<br /> x = (b_{1}-a_{1})+i*(b_{2}-a_{2})<br /> \end{eqnarray*}$

Gleichung 2:
$\begin{eqnarray*} (a_{1}+a_{2}*i)*x=b_{1}+b_{2}*i<br /> x = \frac{b_{1}+b_{2}*i}{a_{1}+a_{2}*i} = \frac{b_{1}+b_{2}*i}{a_{1}+a_{2}*i}*\frac{a_{1}-a_{2}*i}{a_{1}-a_{2}*i}<br /> x = \frac{b_{1}a_{1}-b_{1}a_{2}*i+a_{1}b_{1}*i-a_{2}b_{2}*i}{a^2_{1}-a_{2}^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{a^2_{1}-a_{2}^2}*(b_{1}a_{1}+i*(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{1}-a_{2}b_{2})) \end{eqnarray*}$

Ich soll am Ende x auch abhängig von a und b angeben.

Das eine Problem von der letzten Seite ist auch noch ungelöst:

Zitat:

Original von KnowingLizard

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von KnowingLizard
Aufgabe: Für welche natürlichen Zahlen n wird folgende Summe reell:
$\begin{eqnarray*} s_{n}(z)=\sum\limits_{k=0}^{n-1} z^{2k} <br /> z = \frac{1}{2}(\sqrt{3}-i) \end{eqnarray*}$

Wenn du für z die Exponentialschreibweise nimmst, kannst du auf die Summe die Formel für die geometrische Reihe anwenden.

Ich bin mir nicht ganz sicher, was "die Formel für die geometrische Reihe" ist, aber ich glaube, dass diese bei Aufgabenstellung noch kein Vorlesungsstoff war, weshalb ich davon ausgehe, dass ich das ohne diese lösen muss.
Wie soll ich da dann verfahren?

EDIT: Latexcode etwas lesbarer gemacht.

30.09.2011, 08:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von KnowingLizard
für die Gleichungen a+x=b und a*x=b mit a, b, x als komplexen Zahlen soll ich zeigen, dass sie für jedes a und b eine Lösung x besitzen und x soll ich dann eben noch allgemein angeben.

Also irgendwie ist die Aufgabe merkwürdig. Für a=1 folgt aus der 2. Gleichung, daß x=b ist. Das eingesetzt in die 1. Gleichung führt zu 1+b=b und einem Widerspruch.

Zur Aufgabe mit der Summe: wenn ihr die geometrische Summenformel noch nicht hattet (sehr merkwürdig, sollte aber auch aus der Schule bekannt sein), dann berechne doch mal die Zahlen $\begin{eqnarray*} z^2, z^4, z^6 \end{eqnarray*}$ .

30.09.2011, 17:40

KnowingLizard

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von KnowingLizard
für die Gleichungen a+x=b und a*x=b mit a, b, x als komplexen Zahlen soll ich zeigen, dass sie für jedes a und b eine Lösung x besitzen und x soll ich dann eben noch allgemein angeben.

Also irgendwie ist die Aufgabe merkwürdig. Für a=1 folgt aus der 2. Gleichung, daß x=b ist. Das eingesetzt in die 1. Gleichung führt zu 1+b=b und einem Widerspruch.

Das sollen zwei getrennte Gleichungen, d.h. zwei getrennte Aufgaben sein, d.h. kein Gleichungssystem oder ähnliches.

01.10.2011, 22:20

klarsoweit

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Ah, ok. Woher soll amn das wissen?
Zu Gleichung 1 hast du die Lösung richtig angegeben.
Bei Gleichung 2 gibt es ein Problem, wenn a=0 und b ungleich Null ist.

02.10.2011, 16:33

KnowingLizard

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Zitat:

Original von klarsoweit

Bei Gleichung 2 gibt es ein Problem, wenn a=0 und b ungleich Null ist.

Vielen Dank schon mal smile

smile

D.h. meine zweite Lösung wäre so in Ordnung, wenn ich diesen Sonderfall ausschließe?

04.10.2011, 09:27

klarsoweit

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Nein. Es sollte dir doch auffallen, daß du am Ende ein Ungleichgewicht von einem reellen und 3 imaginären Summanden hast.

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