Linear unabhängige Vektoren

30.09.2011, 19:30	Meisenmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Linear unabhängige Vektoren Hey, ich habe folgende Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{v_1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}, \vec{v_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}, \vec{v_3}=\begin{pmatrix} 5 \\ 13 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun prüfe ich mittels Gauß, ob diese linear abhängig sind: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 5 & 3 & 13 \\ 4 & 2 & 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt weiss ich, dass ein Vektor l. a. ist, aber woher weiss ich welcher das ist und wie bestimme ich die Werte mit denen ich die anderen Vektoren multiplizieren muss? Hier kann ich sehen, dass $\begin{eqnarray} 2 \vec{v_1} + 1 \vec{v_2} = \vec{v_3} \end{eqnarray}$ Aber manchmal sehe ich das eben nicht. Danke, Gruß Meisenmann
30.09.2011, 20:43	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Interessant wäre es, zu wissen, wie Du zu deiner Lösung gekommen bist. Hast Du Zeilen- oder Spaltenumformungen benutzt, oder vielleicht auch beides? Für die Aussage über lineare Unabhängigkeit macht das zwar keinen Unterschied, aber wenn Du eine Linearkombination ermitteln willst, dann solltest Du versuchen die Lösung von $\begin{eqnarray} \lambda_1\cdot v_1+\lambda_2\cdot v_2+\lambda_3\cdot v_3=0 \end{eqnarray}$ zu ermitteln. Anhand der $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ siehst Du dann, welche Vektoren "rausgeworfen" werden können.
01.10.2011, 10:08	Meisenmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, erstmal Danke für Deine Antwort, Helferlein. Ich habe lediglich Zeilenumformungen nach Gauß gemacht, aber ich versteh nicht ganz wie ich $\begin{eqnarray} \lambda_1\cdot v_1+\lambda_2\cdot v_2+\lambda_3\cdot v_3=0 \end{eqnarray}$ ermitteln soll? Ich meine das LGS welches ich zur Lösung der von Dir genannnten Gleichung aufstelle ist ja auch nichts anderes als die Matrix von mir, oder sehe ich das falsch? Danke & viele Grüße, Meisenmann
04.10.2011, 00:55	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry für die späte Antwort, ich war übers WE nicht zu Hause. Ja, das GLS führt auf die Matrix, nur hast Du nirgends etwas über die Lösung geschrieben. Abgesehen davon, weiss ich noch immer nicht, wie Du zu deiner Matrix gekommen bist. Solltest Du II-2I und III-2I gerechnet haben, dann komme ich auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2&1&5\\1&1&3\\0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das ist aber noch nicht die erforderliche Zeilenstufenform.

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