Basiswechsel mit Skalarprodukt

30.09.2011, 20:12	martha.1981	Auf diesen Beitrag antworten »
Basiswechsel mit Skalarprodukt Es fällt mir wirklich schwer, den Basiswechsel zu verstehen. Folgendes ist gegeben: V ein reeller Vektorraum mit Basen S und T, $\begin{eqnarray} S=\{a_1,\hdots, a_n\},T=\{b_1,\hdots ,b_n\} \end{eqnarray}$ . Gelte $\begin{eqnarray} b_k=\sum_{i=1}^n d_{ik}a_i \end{eqnarray}$ Das Skalarprodukt werde bzgl. der Basis S durch die Matrix $\begin{eqnarray} C=(c_{ij})_ij \end{eqnarray}$ beschrieben.Dann gilt $\begin{eqnarray} m_{kl}:=\langle b_k,b_l\rangle = \langle \sum_{i=1}^n d_{ik}a_i, \sum_{j=1}^n d_{jl}a_j\rangle = \sum_{i,j=1}^n d_{ik}d_{jl}\langle a_i,a_j\rangle = \sum_{i,j=1}^n d_{ik}d_{jl}c_{ij} \end{eqnarray}$ Setze $\begin{eqnarray} M:=(m_{ij})_{ij} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D:=(d_{ik})_{ik} \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} M=D^TCD \end{eqnarray}$ Also mit dem was ich mir bisher gemerkt (leider nicht verstanden) habe, müsste D die Basiswechselmatrix von T nach S sein. Das heißt, bei C "kommen Koordinatenvektoren zur Basis S an" und offensichtlich "kommen Koordinatenvektoren zur Basis T raus", die dann wieder von $\begin{eqnarray} D^T \end{eqnarray}$ "aufgenommen" werden... Mal etwas Leichenhaft ausgedrückt. Woher weiß ich denn, dass C in den V zur Basis T abbildet? Grüße, m.
05.10.2011, 00:30	martha.1981	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir niemand helfen?
05.10.2011, 06:58	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo martha, habe über diese sache nachgedacht. Ich glaube dein problem ist. die gleichung $\begin{eqnarray} M=D^TCD \end{eqnarray}$ beschreibt nicht, wie sich die vektoren bei dem basiswechsel "verhalten", sondern wie das skalarprodukt selbst bezüglich der neuen basis wirkt.
05.10.2011, 10:17	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Unter einem Skalarprodukt versteht man allgemein den Audruck $\begin{eqnarray} \vec x\cdot G\vec y \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \vec x, \vec y \end{eqnarray}$ die Koordinatenvektoren sind und $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ eine symmetrische Matrix darstellt, die man als Metrik bezeichnet. $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ wird je nach Anwendung willkürlich festgelegt und bestimmt die Längen- und Winkelmessung im Raum. (Im euklidischen Raum ist G einfach die Einheitsmatrix und kann bei Verwendung der Standardbasis "weggelassen" werden.) Führt man eine Basistransformation mit der Transformationsmatrix $\begin{eqnarray} D^T \end{eqnarray}$ durch, so transformieren sich die Koordinatenvektoren bekanntlich mit der kontragredienten Matrix $\begin{eqnarray} D^{-1} \end{eqnarray}$ . Demnach lauten die transformierten Koordinatenvektoren $\begin{eqnarray} \vec x'=D^{-1}\vec x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec y'=D^{-1}\vec y \end{eqnarray}$ . Umgestellt heißt dies $\begin{eqnarray} \vec x=D\vec x' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec y=D\vec y' \end{eqnarray}$ Setzt man dies in das Skalarprodukt ein, erhält man dieses Skalarprodukt bezüglichder neuen Koordinaten $\begin{eqnarray} \vec x\cdot G\vec y=D\vec x'\cdot GD \vec y' \end{eqnarray}$ Wir bringen die Matrix $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ vom ersten in den zweiten Faktor, was ergibt $\begin{eqnarray} \vec x\cdot G\vec y=\vec x'\cdot \underbrace{D^TG D}_{\text{Abkürzung }G'}\vec y'=\vec x' \cdot G' \vec y' \end{eqnarray}$ Wir kommen zu dem Schluss: Bei einer Basistransformation mit der Transformationsmatrix $\begin{eqnarray} D^T \end{eqnarray}$ transformiert sich die Metrik gemäß $\begin{eqnarray} G'=D^TGD \end{eqnarray}$ .

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