einfache Kombinatorik

01.10.2011, 15:37

Grouser

einfache Kombinatorik

Da ich in Kombinatorik ziemlich schlecht bin, möchte ich euch gerne bitten, einen Blick auf meine Berechnungen zu werfen...

Betrachten sie das Alphabet $\begin{eqnarray*} A,A,B,C,D,E,F,G \end{eqnarray*}$ (die 2 A sind gewollt)

a) Wie viele unterschiedliche Wörter der Länge 8 lassen sich bilden.

Meine Idee: Anzahl der möglichen Wörter aus 8 Buchstaben berechnen und dann jeweils die Wörter wieder abziehen, die sich nur dadurch unterscheiden, dass die 2 $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ s vertauscht wurden. Das führt auf $\begin{eqnarray*} \frac{8!}{2} \end{eqnarray*}$ Kombinationen.

b) Bei wie vielen Wörtern aus Teil a) folgt der Buchstabe $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zweimal direkt aufeinander?

Meine Idee: Fixiere den Teilausdruck $\begin{eqnarray*} AA \end{eqnarray*}$ und berechne wie viele Kombinationen sich aus den restlichen Buchstaben ergeben und multipliziere dies dann mit den 7 Möglichkeiten den Teilausdruck $\begin{eqnarray*} AA \end{eqnarray*}$ im Gesamtausdruck zu verschieben.
Das führt auf $\begin{eqnarray*} 7 \cdot 6! \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten.

c) Wie viele unterschiedliche Wörter der Länge 7 lassen sich bilden?

Meine Idee:
Zunächst die Wörter mit nur einem $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} 7! \end{eqnarray*}$
Dann die Wörter mit 2 $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ s wieder unter Berücksichtigung, dass sie jeweils doppelt aufgeführt werden: $\begin{eqnarray*} \frac{7!}{2} \end{eqnarray*}$ .
Also ingesamt $\begin{eqnarray*} 7! + \frac{7!}{2} \end{eqnarray*}$ Kombinationen.

Wäre nett, wenn jemand einmal nachrechnen könnte, da ich mich selbst bei so banalen Aufgaben in der Kombinatorik ständig vertue... Ein Leid, dass glücklicherweise scheinbar viele Mathematiker teilen Augenzwinkern

01.10.2011, 16:39

Math1986

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RE: einfache Kombinatorik
Sicher, dass die Aufgabenstellung so stimmt? Weil ich zähle nur 7 Buchstaben, will man daraus ein Wort der Länge 8 bilden, so muss man einen Buchstaben mehrfach verwenden. In diesem Fall hat es aber keinen Sinn, dass "A" als doppelt aufzulisten. verwirrt

01.10.2011, 16:47

Grouser

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Ups, es sind natürlich 8 Buchstaben. Ich korregieren das und suche ob sich dadurch Fehler eingeschlichen haben... Einen Moment.

01.10.2011, 23:10

Mathe-Maus

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RE: einfache Kombinatorik
[Betrachten sie das Alphabet $\begin{eqnarray*} A,A,B,C,D,E,F,G \end{eqnarray*}$ (die 2 A sind gewollt)
a) Wie viele unterschiedliche Wörter der Länge 8 lassen sich bilden.
Das führt auf $\begin{eqnarray*} \frac{8!}{2} \end{eqnarray*}$ Kombinationen.]

Jepp. Freude

Am besten, Du schlägst nochmal unter dem Thema: Permutationen mit Wiederholung nach (MSA- und Abitur-Stoff). Dort wird vieles dazu erklärt.

LG Mathe-Maus Wink

02.10.2011, 11:41

https://mathe

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Zitat:

[Betrachten sie das Alphabet (die 2 A sind gewollt) a) Wie viele unterschiedliche Wörter der Länge 8 lassen sich bilden. Das führt auf Kombinationen.] Jepp.

mMn müsste es doch nicht 8!/2, sondern 7^8 heißen. Zwei Wörter sind für mich unterschiedlich, wenn sie eine Ungleichheit an einer n-ten-Stelle haben.

Wir haben 7 verschiedene Elemente, und können mit denen 7^8 Variationen mit Wiederholung bilden, da sie sich alle unterscheiden würden.

02.10.2011, 14:11

Math1986

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Zitat:

Original von https://mathe
Wir haben 7 verschiedene Elemente, und können mit denen 7^8 Variationen mit Wiederholung bilden, da sie sich alle unterscheiden würden.

Wir können damit eben nicht " 7^8 Variationen mit Wiederholung bilden", da jeder Buchstabe nur einmal verwendet werden darf.

02.10.2011, 14:20

https://mathe

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Zitat:

Wir können damit eben nicht " 7^8 Variationen mit Wiederholung bilden", da jeder Buchstabe nur einmal verwendet werden darf.

und wo steht das? Wir dürfen ja auch aus unserem Alphabet jeden Buchstaben öfter als einmal in einem Wort verwenden...

02.10.2011, 14:44

Math1986

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Wenn es nicht so wäre, dann hätte der Autor der Aufgabe das "A" nicht zweimal aufgelistet Augenzwinkern

02.10.2011, 16:29

Leopold

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Schau hier.

Sollen Wörter der Länge $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ verschiedenen Buchstaben, von denen der erste genau $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ -mal, der zweite genau $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ -mal usw. bis schließlich der $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ -te genau $\begin{eqnarray*} k_r \end{eqnarray*}$ -mal vorkommen, gebildet werden (es gilt damit $\begin{eqnarray*} k_1 + k_2 + \ldots + k_r = n \end{eqnarray*}$ ), so gibt es davon insgesamt

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_r!} \end{eqnarray*}$

Stück.

Beispiel: MISSISSIPPI

Hier ist $\begin{eqnarray*} n=11, \, r=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_1 = 1 \end{eqnarray*}$ (M), $\begin{eqnarray*} k_2 = 4 \end{eqnarray*}$ (I), $\begin{eqnarray*} k_3 = 4 \end{eqnarray*}$ (S), $\begin{eqnarray*} k_4 = 2 \end{eqnarray*}$ (P). Durch Umlegen der Buchstabenplättchen wie beim Scrabble-Spiel kann man also $\begin{eqnarray*} \frac{11!}{1! 4! 4! 2!} = 34650 \end{eqnarray*}$ verschiedene "Wörter" legen.

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