Grenzwerte Wahrscheinlichkeit

01.10.2011, 18:37

Mzwei

Grenzwerte Wahrscheinlichkeit

Meine Frage:
Folgende Frage:
Finden Sie ein Beispiel für Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_{1},A_{2},... \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} P(A_{n})\to \end{eqnarray*}$ 1 aber $\begin{eqnarray*} P(\cap_{k=n}^\infty A_{k})\to \end{eqnarray*}$ 0 für n-> $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich hab mir überlegt, dass der Grenzwert sicherlich der ganze Raum Omega sein muss ( $\begin{eqnarray*} A_{n}\to\Omega \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ ). Und kurz vor dem Grenzwert muss es ein Ereigniss geben, dass die leere Menge ist, damit die Vereinigung im Grenzwert dann die W'keit 0 hat. Aber keine Ahnung wie ich das schlau aufschreiben kann.

01.10.2011, 18:48

galoisseinbruder

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Ich nehme an, das soll ein Bsp. für beliebiges $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ sein.
Dann ist deine Auswahl an Mengen (glücklicherweise) sehr eingeschränkt.

"Kurz vor dem Grenzwert" die leere Menge zu haben widerspräche doch $\begin{eqnarray*} P(A_n)\rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ , oder?

01.10.2011, 19:00

Mzwei

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Ja, ein beliebiges $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .
Das stimmt schon, dass kurz vor dem Grenzwert die leere Menge schon ein bisschen komisch tönt. Aber mal angenommen alle $\begin{eqnarray*} A_{n} \end{eqnarray*}$ sind gleich der leeren Menge, ausser gerade der Grenzwert.
Eventuell etwas mit einer Zufallsvariable, dabei wäre die Verteilungsfkt. bis z.B. F(t)=0 für alle t<1 und für alle t>=1 wäre sie dann 1.
Und $\begin{eqnarray*} A_{n}:=\{\omega:X(\omega)<=1-1/n\} \end{eqnarray*}$ .

01.10.2011, 19:03

galoisseinbruder

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Du denkst deutlich zu kompliziert. Welche Mengen hast Du denn im schlimmsten/besten (je nach Sichtweise) Fall nur zur Verfügung.

01.10.2011, 19:08

Mzwei

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Also du meinst welche Menge für Omega?

01.10.2011, 19:09

galoisseinbruder

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Die Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ meinte ich. Also was wir für die $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ ´s verwenden können.

01.10.2011, 19:13

Mzwei

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Meinst du disjunkte Mengen? Damit der Durchschnitt der Mengen die leere Menge ist. Aber der Grenzwert muss ja dann doch ganz Omega geben...

01.10.2011, 19:15

galoisseinbruder

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Um jetzt nicht dauernd aneinander vorbeizureden:
Im zugegebenermaßen etwas künstlichen $\begin{eqnarray*} \Omega= \{1\} \end{eqnarray*}$ (mit Zählmaß), welche Teilmengen hat $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ?

01.10.2011, 19:19

Mzwei

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Die leere Menge und 1. Aber mit den beiden sollte man ja jetzt eine Folge generieren, die im Grenzwert 1 hat, aber in der Grenze der Durchschnitte 0. Wie soll das gehen?

01.10.2011, 19:27

René Gruber

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Die Ereignisfolge $\begin{eqnarray*} n \mapsto \bigcap\limits_{k=n}^{\infty} A_k \end{eqnarray*}$ ist gemäß dieser Konstruktion monoton wachsend. Das bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} P\left( \bigcap\limits_{k=n}^{\infty} A_k \right) = 0 \end{eqnarray*}$ nur erreicht werden kann, wenn $\begin{eqnarray*} P\left( \bigcap\limits_{k=n}^{\infty} A_k \right) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt!!!

Ein solches Beispiel kann man aber dennoch finden. Augenzwinkern

01.10.2011, 19:30

galoisseinbruder

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Ich muss mich entschuldigen. hatte in der Aufgabenstellung was überlessen, weswegen meine Schiene aufs Abstellgleis führt. Da ich jetzt eh´weg muss, übergebe ich hier gern an René Gruber.

01.10.2011, 19:42

Mzwei

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Ja, wenn alle $\begin{eqnarray*} A_{n} \end{eqnarray*}$ paarweise disjunkt sind. Aber zusätzlich muss ja der Grenzwert der Folge Omega entsprechen. Also sucht man nach einer wachsender Folge, welche aus disjunkten Teilen besteht. Oder? Gibts so etwas überhaupt?

01.10.2011, 19:46

René Gruber

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Wer sagt denn, dass die $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ disjunkt sind? geschockt

Das ist doch überhaupt nicht vereinbar mit der Forderung $\begin{eqnarray*} P(A_{n})\to 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$ ! unglücklich

Nein, passende Beispiele sehen anders aus - denk nochmal nach!

01.10.2011, 20:08

Mzwei

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ja, wenn aber die Teile nicht disjunkt sind, dann muss sicherlich eines davon die leer Menge sein. Doch die leere Menge muss beliebig weit hinten also n sehr gross sein. Andererseits muss der Grenzwert dann doch omega sein. Also die Folge muss wachsen, dass ist doch durch die Bedingung $\begin{eqnarray*} P(A_{n})\to 1 \end{eqnarray*}$ gegeben. Andererseits sagst du, dass die Folge der Differenzen immer gleich der leeren Menge ist. Ich seh einfach nicht, wo dass der Fall sein kann. Ist es wichtig was Omega ist? Ob endlich oder unendlich?
Ist es eigentlich möglich, dass Omega die leere Menge ist? Dann wäre aber nicht klar, was $\begin{eqnarray*} P(\Omega) \end{eqnarray*}$ ist.

01.10.2011, 20:10

René Gruber

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Zitat:

Original von Mzwei
ja, wenn aber die Teile nicht disjunkt sind, dann muss sicherlich eines davon die leer Menge sein.

Falsch.

Zitat:

Original von Mzwei
Andererseits muss der Grenzwert dann doch omega sein.

Falsch - es muss nicht mal der Grenzwert der Ereignisfolge existieren.

Zitat:

Original von Mzwei
Andererseits sagst du, dass die Folge der Differenzen immer gleich der leeren Menge ist.

Das sage ich keinesfalls - du ziehst abgrundtief falsche Schlüsse. unglücklich

Am besten nenne ich mal mein Beispiel, dann kommst du vielleicht aus deiner Sackgasse der wirren Überlegungen heraus:

Betrachte unabhängige $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(A_k) = \frac{k-1}{k} \end{eqnarray*}$ .

Eine "Verbildlichung" dessen: Im $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten Versuch wird ein fairer Würfel mit $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Seiten geworfen, und dann das Ereignis

$\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ ... es wird keine 1 geworfen

betrachtet. Augenzwinkern

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