neutrales Element

02.10.2011, 16:09

fly awaaay

neutrales Element

Meine Frage:
Hallo!
warum muss man beim neutralen element e einmal e*m (linksneutral) und auch m*e (rechtsneutral) überprüfen?

Meine Ideen:
Bisher weiß ich nur, dass wenn eine Halbgruppe/Monoid/Gruppe kommutativ ist, dass die Begriffe übereinstimmen. Aber warum testet man überhaupt "beide Seiten"?

02.10.2011, 16:22

Math1986

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RE: neutrales Element
Unterscheiden wir mal zwischen Halbgruppe/Monoid/Gruppe:
-Im Falle einer Halbgruppe muss es kein neutrales Element geben.
-Im Falle eines Monoids muss man unterscheiden, ob dieses kommutativ ist oder nicht: Ist es kommutativ, sind linksneutrale Elemente auch rechtsneutral und umgekehrt, ist es nicht kommutativ, so kann es rechtsneutrale Elemente geben, die aber nicht linksneutral sind (und umgekehrt.
-Im Falle einer Gruppe kann man die Gruppenaxiome dahingehend abschwächen, dass man "nur" die Existenz eines linksneutralen Elementes fordert, aus den anderen Axiomen folgt dann, dass dieses auch rechtsneutral seien muss (und umgekehrt)

Beantwortet das deine Frage?

02.10.2011, 16:35

fly awaaay

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RE: neutrales Element
Danke für die schnelle Antwort! Das hat mir auf jeden Fall schon mal ein wenig geholfen. Aber meine eigentliche Frage war: Warum muss man überhaupt testen, ob das neutrale Element links- und rechtsneutral ist? In der Uni schreiben wir nämlich einfach immer e*a=a*e=a, und nennen das einfach "nur" neutral, aber haben nicht darüber gesprochen, warum man dies von beiden Seiten testen muss.

02.10.2011, 16:42

Math1986

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RE: neutrales Element
Ich verstehe die Frage nicht unglücklich

Was du da aufschreibst ist eines der Axiome eines Monoids/einer Gruppe.
In einem Monoid musst du beides nachweisen, in einer Gruppe genügt es, eine dieser Eigenschaften nachzuweisen.

02.10.2011, 16:53

fly awaaay

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RE: neutrales Element
Wenn ich eine ABELSCHE Gruppe habe, ist jedes linksneutrale Element auch rechtsneutral, wegen der Kommutativität.
Bei einem Monoid muss ich linksneutrales und rechtsneutrales Element nachweisen, weil?

02.10.2011, 16:56

Math1986

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RE: neutrales Element

Zitat:

Original von fly awaaay
Wenn ich eine ABELSCHE Gruppe habe, ist jedes linksneutrale Element auch rechtsneutral, wegen der Kommutativität.

Richtig. Das gilt auch für nicht-kommutative Gruppen Augenzwinkern

Zitat:

Original von fly awaaay
Bei einem Monoid muss ich linksneutrales und rechtsneutrales Element nachweisen, weil?

..weil es in einem nicht-abelschen Monoid eben linksneutrale Elemente geben kann, die nicht rechtsneutral sind, und umgekehrt.

02.10.2011, 16:59

fly awaaay

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RE: neutrales Element
Ok. Warum ist bei nicht-kommutativen Gruppen auch jedes linksneutrale Element dasselbe wie das rechtsneutrale?
Und wie kann man sich vorstellen, dass es linksneutrale Elemente gibt in einem nicht-abelschen Monoid, die aber nicht rechtsneutral sind?

02.10.2011, 17:11

Math1986

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RE: neutrales Element

Zitat:

Original von fly awaaay
Ok. Warum ist bei nicht-kommutativen Gruppen auch jedes linksneutrale Element dasselbe wie das rechtsneutrale?

Wir nehmen ein linksneutrales Element $\begin{eqnarray*} e\in G \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} e\circ a=a \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a\in G \end{eqnarray*}$
Wir wollen nun zeigen, dass es auch rechtsneutral ist, d.h. $\begin{eqnarray*} a\circ e=a \end{eqnarray*}$
Es ist dann:
$\begin{eqnarray*} a\circ e=a\circ\left(a^{-1}\circ a\right)=\left(a\circ a^{-1}\right)\circ a=e\circ a=a \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von fly awaaay
Und wie kann man sich vorstellen, dass es linksneutrale Elemente gibt in einem nicht-abelschen Monoid, die aber nicht rechtsneutral sind?

Das folgende Beispiel stammt aus Wikipedia:

Zitat:

Hat eine Halbgruppe aber kein rechtsneutrales Element, dann kann sie mehrere linksneutrale haben. Einfachstes Beispiel ist eine beliebige mindestens zweielementige Menge mit der Verknüpfung a * b: = b. Darin ist jedes Element linksneutral, aber keins rechtsneutral. Analog gibt es auch Halbgruppen mit rechtsneutralen, aber ohne linksneutrale Elemente.

in dem Wikipedia-Artikel ist das alles noch ausführlicher erklärt

02.10.2011, 17:15

fly awaaay

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RE: neutrales Element
Ich denke ich habe jetzt eine Menge verstanden. nur eine Kleinigkeit noch nicht...Tut mir leid... warum darf man die Klammern vertauschen?
$\begin{eqnarray*} a\circ e=a\circ\left(a^{-1}\circ a\right)=\left(a\circ a^{-1}\right)\circ a=e\circ a=a \end{eqnarray*}$
wenn es sich um eine nihct-kommutative (Halb-)Gruppe handelt?

02.10.2011, 17:18

Math1986

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RE: neutrales Element
Die Klammern darfst du wegen der Assoziativität vertauschen

02.10.2011, 17:20

fly awaaay

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RE: neutrales Element
Schwere Geburt! Aber DANKE, ich glaub ich habs! smile

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