Minimalpolynom

03.10.2011, 16:33

SD Karte

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Minimalpolynom

Meine Frage:
Sei K ein Körper und sei A Element aus M(nxn)(K) eine invertierbare Matrix. Sei ma das Minimalpolynom von A. Beweisen Sie, dass es ein Polynom f Element aus K[T] mit Grad(f)<Grad(ma) so gibt, dass A^-1=f(a) ist.

Hat jemand einen Ansatz?

Meine Ideen:
Also ich habs schon mit dem Adjunktensatz probiert, aber nichts Gutes rausbekommen.

03.10.2011, 19:50

galoisseinbruder

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Ich hätt´ ne Idee, hab aber keine Ahnung ob das die vorgesehene ist.
$\begin{eqnarray*} ggT(X, m_A) \end{eqnarray*}$ berechnen (Du darfst noch zeigen warum dass $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ X ist).
Bezout liefert dann eine Darstellung $\begin{eqnarray*} 1=f \cdot X+ g \cdot m_A \end{eqnarray*}$ .

Edit1 : merke gerade, dass ich zu kompliziert gedacht hab. Der ggT ist nach einer Zeile schon fertig. Wir können also ohne ggT formulieren: $\begin{eqnarray*} m_A=g\cdot X +c \end{eqnarray*}$
und dann auf die Darstellung gehen.
Edit2 : Das rote X war mal ein 0, darauf bezieht sich der Kommentar von tmo, dem ich danke, dass er meinen Tippfehler gesehen hat.

03.10.2011, 20:14

tmo

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Kleine Anmerkung: Es geht nicht darum zu zeigen, dass der ggT nicht 0 ist, sondern dass der Rest bei der Division nicht 0 ist. Mit anderen Worten ist zu zeigen: $\begin{eqnarray*} m_A(0) \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Dies kann man entweder nur durch die Minimalität des Minimalpolynoms zeigen (ich mag solche Beweise smile

smile

) oder etwas mehr Theorie über Eigenwerte nutzen, denn diese schenkt einem die Behauptung quasi schon.

04.10.2011, 14:48

SD_karte

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Geht die Minimalität des Minimalpolynoms nicht aus der Def. hervor? Wie kann man daraus meinen Satz zeigen? Also f(A)=A^-1

04.10.2011, 14:50

SD Karte

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Und wo kommt euer X her - was bedeutet das?

04.10.2011, 14:53

galoisseinbruder

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Ersetze das X durch T is es dann klar? (ich bevorzuge als Variable X deutlich vor allen anderen)

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04.10.2011, 14:57

Sd Karte

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Achso natürlich und wie lautet die Antwort auf meinen 1. Post?

04.10.2011, 14:59

Sd Karte

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Also ma(0)!=0 zu zeigen, bekomme ich hin, aber wie ziehe ich dann den Schluss zu meiner Aufgabe?

04.10.2011, 15:00

galoisseinbruder

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Was tmo meint ist dieses: Du sollt aus der Minimalität des Minimalpolynoms folgern, dass

Zitat:

$\begin{eqnarray*} m_A(0) \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

oder für meine Formulierung $\begin{eqnarray*} c\neq 0 \end{eqnarray*}$

Edit: warst etwas schneller als ich. Zum Finden des f würde ich meinen ersten Post beachten.

04.10.2011, 15:02

Sd Karte

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In Ordnung. Das habe ich - da brauche ich keine Hilfe (danke für die Hilfe bis jetzt). Aber wie komme ich von da auf die Behauptung???

04.10.2011, 15:03

galoisseinbruder

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Setz mal A ein.

04.10.2011, 15:09

Sd Karte

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Na ma(A)=0 und ma(0)=c. Und dann?

04.10.2011, 15:11

galoisseinbruder

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Wie wärs mit hier:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 1=f \cdot X+ g \cdot m_A \end{eqnarray*}$ .

oder hier:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} m_A=g\cdot X +c \end{eqnarray*}$

04.10.2011, 15:16

Sd Karte

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Ist dein großes X wirklich das Polynom des Grades 1 mit dem Koeffizienten 1? Und wenn ich einsetze in 1bekomme ich 1=fA oder?

04.10.2011, 15:20

galoisseinbruder

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Ja X ist das X aus $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ ;
Wenn Du einsetzt, dann bitte vollständig, also auch in f.
Was wird aus der 1 wenn wir von Polynomen in X zu Summen/Potenzen von matrizen übergehen?

04.10.2011, 15:23

Sd Karte

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f(a)=1 oder? Hilf mir mal bitte auf die Sprünge ich muss in 5min los.

04.10.2011, 15:25

galoisseinbruder

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Nein, das ist falsch.
Es ist wahrscheinlich sinnvoller Du denkst in Ruhe drüber nach und wir sehens uns dann nochmal an.

04.10.2011, 15:27

Sd Karte

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Seh ich auch so. Ich komme noch mal um halb acht oder so. Könnten Sie mir noch erklären, ob ich A als X nehmen soll, oder wie sie "einsetzen" meinen. Oder besser noch wo ich "einsetzen" soll. Danke für die Hilfe.

04.10.2011, 15:31

Sd Karte

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Seh ich auch so. Ich komme noch mal um halb acht oder so. Könnten Sie mir noch erklären, ob ich A als X nehmen soll, oder wie sie "einsetzen" meinen. Oder besser noch wo ich "einsetzen" soll. Danke für die Hilfe. (Ist eig. 1=f*ma+g*T => 1=g(a)*(A) => gesuchte f ist g???)

04.10.2011, 15:35

galoisseinbruder

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In dem Sinne das die 1 im Matrizenring E ist, ist Deine letzte Anmerkung genau die Aussage auf die ich raus wollte. (in meiner Gleichung sind nicht umsonst die Bezeichnungen f und g vertauscht.)

04.10.2011, 16:01

Leopold

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Warum wird das alles so kompliziert formuliert?
Ich würde einfach die Gleichung $\begin{eqnarray*} 0 = \mu_A(A)= a_0 E + a_1 A + a_2 A^2 + \ldots + a_m A^m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ durchmultiplizieren und nach $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ auflösen. Wegen $\begin{eqnarray*} a_0 \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist das möglich. (Und daß $\begin{eqnarray*} a_0 \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, behauptet Sd Karte, sei ihm klar).

04.10.2011, 17:37

Sd Karte

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Danke an alle. Beide Wege habe ich verstanden. Dass a0!=0 folgt wiegesagt daraus, dass das Minimalpolynom minimal ist. (Kein Problem, das zu beweisen) Ich denke, wir können den Thread schließen.

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